2015-03-07
528
Дифференциальное уравнение вида
, (10.3)
в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на произведение множителей, каждый из которых зависит только от x или только от y,называется уравнением с разделяющимися переменными.
Поделив обе части уравнения (10.3) на 
, получим уравнение
,
в котором переменные разделены. Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению
, (10.4)
где С – постоянная интегрирования. Выражение (10.4) является общим решением (общим интегралом, поскольку решение записано в неявном виде) уравнения (10.3). Выражая y из (10.4) (если это возможно), получаем общее решение дифференциального уравнения в явном виде y=φ (x, C).
Заметим, что уравнению (10.3) могут удовлетворять решения, потерянные при делении на , т.е. получаемые из уравнения =0. Если эти решения не входят в найденный общий интеграл, то они являются особыми решениями уравнения (10.3).
Частное решение находим, используя начальные условия 
.
Кроме того, для получения решения дифференциального уравнения (10.3), удовлетворяющего произвольному начальному условию y (x 0 ) =y 0, можно воспользоваться равенством 
.
|
|
|
