Оптимизация комплекса операций по времени

Оптимизация комплекса операций по времени сводится к сокращению продолжительности критического пути. Необходимость проведения оптимизации сетевого графика по времени возникает тогда, когда критическое время выполнения комплекса операций превосходит срок , на котором настаивает ЛПР. Очевидно, подобная задача требует проведения определенных мероприятий и (или) вложения дополнительных средств.

Иногда оптимизация достигается за счет перепланировки сетевого проекта (изменения топологии сети). Например, одновременно выполняемые операции, имеющие резервы времени и не лежащие на критическом пути могут выполняться последовательно (если это допускается технологией). Освободившиеся при этом ресурсы можно использовать на критических операциях, что ускорит их выполнение. Сокращение времени выполнения операций возможно также за счет автоматизации производственных процессов, улучшения организации работ, использования передовых технологий и т.д.

Оптимизация комплекса операций по времени может проводиться с привлечением дополнительных средств и с использованием внутренних резервов.

Приведем математическую формулировку процесса оптимизации по времени.

Пусть задан сетевой график выполнения комплекса операций. Время выполнения каждой операции равно . Пусть также вложение дополнительных средств в операцию сокращает время выполнения с до . Естественно, для каждой операции существует минимально возможное время ее выполнения, равное . Требуется определить время начала и окончания выполнения операций, а также величину дополнительных средств , которые необходимо вложить в каждую из операций , чтобы общее время выполнения комплекса операций было минимальным. При этом сумма вложенных дополнительных средств не должна превышать заданной величины , а время выполнения каждой операции должно быть не меньше минимально возможного времени .

Математически условия задачи можно записать следующим образом:

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

; (5.5)

. (5.6)

Добавив при необходимости фиктивную операцию, выходящую из последнего события, целевую функцию любого графика можно записать в виде выражения (5.1).

Ограничения-равенства (5.4) показывают зависимость продолжительности выполнения операций от вложенных средств. Ограничения (5.5) обеспечивают выполнение условий предшествования операций в соответствии с топологией сети (время начала выполнения каждой операции должно быть не меньше времени окончания непосредственно предшествующей ей операции).

Критический путь в данной задаче является функцией от объемов дополнительно вкладываемых средств .

Сформулированная задача относится к классу оптимизационных задач и может быть решена методами линейной или нелинейной оптимизации в зависимости от вида функций .

Приведем пример решения задачи оптимизации комплекса операций по времени путем затрат дополнительных средств.

Пример 1.

Комплекс операций представлен сетевым графиком (рис. 5.6). Цифры, приписанные дугам, означают соответственно продолжительность и минимально возможное время выполнения операций (в днях).

Продолжительность выполнения операций зависит линейно от дополнительно вложенных средств и выражается соотношением

Требуется оптимизировать сетевой график по времени, т.е. определить время выполнения каждой операции сетевого графика таким образом, чтобы время выполнения комплекса операций было минимальным, а сумма вложенных средств не превышала 15 единиц.

Рис. 5.6

Решение

Добавив на сетевом графике фиктивную операцию (5,6), запишем целевую функцию в виде:

Запишем ограничения задачи:

сумма вложенных средств не должна превышать наличного их количества:

время выполнения каждой операции должно быть не меньше минимально возможного времени:

зависимость продолжительностей операций от вложенных средств дает ограничения-равенства:

время начала выполнения каждой операции должно быть не меньше времени окончания непосредственно предшествующей ей операции (моменты времени

условие неотрицательности неизвестных:

для всех дуг сетевого графика.

Создадим на рабочем листе Excel форму для ввода данных, необходимых для решения задачи (Рис. 5.7).

Рис. 5.7. Форма для ввода данных примера 1.

Введем обозначения для переменных согласно Рис. 5.7, и отведем под расчетные значения X1-X20 диапазон ячеек A8:T8. Далее, введем формулы для расчета функций-ограничений в соответствии с приводимой ниже таблицей

Ячейка	Формула	Ячейка	Формула
C9	=D8-C8	K13	=A8+0,1*O8
E9	=F8-E8	K14	=B8+0,4*P8
G9	=H8-G8	K15	=D8-C8+0,6*Q8
I9	=J8-I8	K16	=F8-E8+0,42*R8
K9	=L8-K8	K17	=J8-I8+0,64*S8
M9	=N8-M8	K18	=L8-K8+0,12*T8
C13	=C8-A8
C14	=E8-A8	G22	=O8+P8+Q8+R8+S8+T8
C15	=I8-B8
C16	=I8-D8	O14	=N8
C17	=G8-B8
C18	=G8-D8
C19	=K8-F8
C20	=K8-H8
C21	=M8-J8
C22	=M8-L8