Пример. 25.4

Пусть D- плоскость Z с разрезом вдоль положительной действительной полуоси.

а) Функция = e^{i /2},где Z= r eⁱ , 0< <2 удовлетворяет условиям (25.17) и поэтому - дифференцируемая в D функция. По формуле (25.18) находим

, то есть (25.19)

б) Функция lnz=lnz+i (z= r eⁱ , 0< <2 )

удовлетворяет условиям (25.17) и

(lnz)=1/z (25.20)

Определение 25.2. Функция W=f(z) называется аналитической в данной точке Z D, если она дифференцируема как в самой точке Z, так и в некоторой ее окрестности. Функция f(z) называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Для любой аналитической функции f(z) имеем

F (z) = +i = -i = -i = +i (*)

Пример 25.5. Показать, что функция W=e^z является аналитической на всей комплексной плоскости.

Решение. Имеем e^z=e^x(cosy+isiny), так что U(x,y)=e^xcosy, V(x,y)=e^xsiny.

Функции U(x,y) и V(x,y), как функции действительных переменных х и у дифференцируемы в любой точке (x,y) (они имеют непрерывные частные производные любого порядка) и при этом удовлетворяют условиям (25.8).

Следовательно, функция W=e^z всюду аналитическая. Для f (z)=e^z получаем согласно формуле (*)

(e^z)=(e^xcosx)_x+i(e^хsiny)_x= e^x(cosy+isiny)=e^z

Итак, (e^z)¢=e^z.

Пример 25.6. Является ли функция W=Z аналитической хотя бы в одной точке?

Решение. Имеем Z =x²+y², так что

U(x,y)= x²+y²; V(x,y)

Условия Коши-Римана в этом случае имеют вид

и удовлетворяются только в точке (0,0).

Следовательно, функция W=Z дифференцируема только в точке Z=0 и нигде не аналитична.

Пример 25.7. Является ли функция W= =x-iy аналитической?

Решение. Здесь U(x,y)=х, V(x,y)=-y

-всюду дифференцируемые функции переменных Х и У. Далее

=1, =0, =0, =-1.

Так что , т.е. первое из условий Коши-Римана не выполняется ни в одной точке комплексной плоскости.

Значит, функция W= – нигде не дифференцируема, следовательно, и не аналитическая.

Примеры:

1. Проверить условия Коши-Римана для следующих функций:

A) W=sinZ, B) W=lnZ

б) W= cosZ г) w=ArcsinZ,

д) W=Zⁿ (n - целое число)

2. Найти аналитическую функцию переменной Z (Z=x+iy), действительная часть которой равна:

а)x³-3xy², б) x²-y²+2x, в) x/ x²+y²

г) x/ x²+y²-2y

д) 2e^xsiny

Ответы: а) z³+Ci, б) z²+2z+Ci, в) 1/z+Ci,

г) 1/z+2iZ+Ci, д) -2ie^z+Ci.

Пользуясь условиями Коши-Римана, выяснить, какие из следующих функций являются аналитическими, хотя бы в одной точке, а какие нет:

а)W=Z²Z

б)W=Ze^z

в)W= |Z|

г) W=zReZ

д) W=ZlmZ

е) W=