Геометрическое определение вероятности

Рассмотрим испытание, состоящее а том, что внутри заданной плоскости области W наугад отмечается точка М, Тогда для любой меньшей области D¹, лежащей в W можно рассмотреть событие А, состоящее в том, что отмеченная точка М окажется лежащей в D¹. Вероятность этого события вычисляется по формуле

P(A) =

где S и S¹ - площади областей D и D¹ соответственно.

Можно проверить, что все свойства 1) – 3) вероятности выполняются. Для демонстрации свойства 4) нужно рассматривать боле сложное испытание.

В рассмотренном испытании вместо плоских областей можно взять отрезки на прямой или области в пространстве, В этих случаях имеют место аналогичные формулы с той лишь разницей, что вместо отношения площадей берется отношение длин или объемов.

Задача 1. В квадрате со стороной 3 см наугад отмечается точка М. Найти вероятность того, что т. М окажется не дальше 1 см от ближайшей вершины квадрата.

Решение: В данном случае область W - это

квадрат. Рассматриваемому событию А

соответствует заштрихованная область D¹ -

четыре круговых сектора радиуса 1 см.

S = 3² = 9, S¹ = p × 1² = p

Поэтому P(A) = .

Задача 2. Наугад выбирают два числа: и

. Строится прямоугольник со сторонами x и y. Найти

вероятность того, что его площадь будет больше 1.

Решение: Пара чисел (x,y) определяет точку М на плоскости, а указанным неравенствам соответствует область W (прямоугольник OABC).

Область D¹ (заштрихована) определяется условием xy>1 или y>

y

1 ^{A B}

S(W)=1×2=2

О 1 2 x

S(D¹) = S¹ = = (x-lnx) = (2 - ln2) - (1 - ln1) = 1 - ln2

Значит, искомая вероятность P(A) = .

Во многих задачах непросто определить, что надо понимать под исходами, образуют ли они полную группу равновероятных и несовместных исходов, подсчитать их общее число n и, в особенности, число благоприятных исходов m. Для решения этих задач может помочь знание комбинаторных формул (см. 9)

Элементы комбинаторики.