Прямоугольная декартова система координат в пространстве

1.3.1. Введём три взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке, и введём на каждой из них системы координат, взяв за начало на каждой из них их общую точку пересечения О и взяв на каждой из них один и тот же масштаб. Как правило, одна ось берётся вертикальной с направлением снизу вверх, а другие две - на горизонтальной плоскости с направлениями так, как это показано на рис. 1.7.

Горизонтальные оси обозначим через Ox, Оу (так, как это изображено на рис. 1.8) и назовём их соответственно осями абсциис и ординат, а вертикальную - через Oz и назовём её осью аппликат. Плоскости, содержащие пары координатных осей, называются координатными плоскостями. Они обозначаются в соответствии с тем, какие оси содержат: xOy, xOz, yOz. Тройка (Ox, Oу, Oz) называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.

Возьмём в пространстве произвольную точку А и проведём через неё плоскости, перпендикулярные к осям Ox, Oy и Oz. Эти плоскости пересекают оси в некоторых точках. Обозначим их соответственно через A_x, A_y и A_z. Они имеют на осях какие-то координаты, скажем, x_A, y_A и z_A. Таким образом, A_x (x_A), A_y (y_A) и A_z (z_A) - основания перпендикулярных к осям плоскостей, проведённых из точки А (рис. 1.9).

Тройка чисел (x_A, y_A, z_A) называется координатами точки А, при этом x_A - абсцисса точки А, y_A - ордината точки А, z_A - аппликата точки А. Тот факт, что точка А имеет координаты (x_A, y_A, z_A), обозначается через А (x_A, y_A, z_A).

При изображении положения точки А (x_A, y_A, z_A) относительно своих координат проводят проекцию A ¢ точки A на координатную плоскость xOy, затем проводят отрезки A ¢ A_x, A ¢ A_y, параллельные соответственно осям Oy, Ox, и отрезок AA_z, параллельный отрезку A ¢ O (рис.1.10, здесь точки A_x, A_y, A_z обозначены их координатами, соответственно через x_A, y_A, z_A).

1.3.2. Теорема. Если точки A (x_A, y_A, z_A) и B (x_B, y_B, z_B) заданы своими координатами, то расстояние между ними равно

| АВ |= ,

и если точка C (x_C, y_C, z_C) делит отрезок АВ в отношении l, то x_C = , y_C = , z_C = .

1.3.3. Упражнение. Даны точки A и B своими координатами. Известно, что точка C делит отрезок AB в отношении l. Найти длину отрезка AB и координаты точки C. В системе координат изобразить отрезок AB: