3.2.1. Векторным произведением векторов и называется вектор , обладающий следующими свойствами:
1) ^ , ^ ;
2) | |=| |×| |×sin();
3) тройка (, , ) - правая.
Векторное произведение векторов и обозначается через [ , ] и ´ .
3.2.2. Свойство 3) определения векторного произведения векторов и выражает его геометрический смысл: Геометрический смысл векторного произведения заключается в том, что длина векторного произведения равна площади параллелограмма, натянутого на сомножители (рис.3.2).
При этом и коллинеарны, тогда и только тогда, когда [ , ]= .
3.1.3. Теорема. Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1о. Для любых векторов и имеет место равенство
[ , ]=-[ , ].
2о. Для любого числа a и любых векторов и имеют место равенства
[ a , ]= a [ , ],
[ , a ]= a [ , ].
3о. Для любых векторов , и имеют место равенства
[ + , ]=[ , ]+[ , ],
[ , + ]=[ , ]+[ , ].
4о. Если =(ax, ay, az), =(bx, by, bz), то
[ , ]= , - , (3.4)
или, в виде разложения в системе орт
[ , ]= - + (3.5)
3.2.4. Свойства 2о и 3о обобщаются на любое число слагаемых в любом из сомножителей:
[ a 1 + a 2 +…+ ak , ]= a 1[ , ]+ a 2[ , ]+…+ ak [ , ],
[ , b 1 + b 2 +…+ bk [= b 1[ , ]+ b 2[ , ]+…+ bk [ , ]
Аналогичное обобщение имеет место на любое число слагаемых в обоих сомножителях. Например,
[ a + b , g + d + e ]=
= ag [ , ]+ bg [ , ]+ ad [ , ]+ bd [ , ]+ ae [ , ]+ be [ , ].
3.2.5. Равенство (3.5) формально записывается в виде
[ , ]= (3.6)
Формула (3.6) позволяет легко восстановить формулу (3.5) (при условии знания определителя 3-го порядка или его разложения по первой строке).