Множества и операции над ними

1.1. Множество: основные понятия. Понятие множества является неопределяемым, то есть оно относится к основным понятиям, таким, как точка, прямая, плоскость. Это понятие можно пояснить, например, как совокупность объектов, обладающих определенным свойством. Так, можно рассматривать множество людей, живущих на Земле, множество студентов данного учебного заведения, множество точек на отрезке, множество дисциплин, по которым сдаются экзамены в данную сессию и т.д. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества.

Множество может не содержать ни одного элемента (например, множество круглых квадратов). Такое множество называется пустым и обозначается через Æ. Кроме пустого множества рассматривается так называемое универсальное множество U, которое содержит в качестве подмножеств все множества данного контекста. Например, если рассматриваются числовые множества, то в качестве U можно рассматривать такое числовое множество, которое содержит все эти множества. Так, если рассматриваются числовые множества, состоящие из действительных чисел (например, числовые интервалы), то в качестве U можно взять множество R всех действительных чисел.

Множества принято обозначать через заглавные буквы латинского алфавита: A, B, C, …, X, Y, Z, …, A ₁, A ₂, …. Элементы множества обозначаются через строчные: a, b, c, …. Тот факт, что a является элементом множества A обозначается через a Î A. Если а не является элементом множества А, то это обозначается через a Ï A.

Если из a Î A следует a Î B, то A называется подмножеством множества B. Тот факт, что A является подмножеством множества B, обозначается через A Í B. Таким образом,

для доказательства включения A Í B достаточно показать, что выполняется условие: из x Î A следует x Î B.

Пустое множество считается подмножеством любого множества.

Если одновременно выполняются условия A Í B и B Í A, то множества A и B называются равными. Тот факт, что множества A и B равны, обозначается через A = B. Таким образом,

для доказательства равенства A = B достаточно показать, что одновременно выполняются следующие два условия: 1) из x Î A следует x Î B и 2) из x Î B следует x Î A.

Если A Í B, но A ¹ B, то А называется собственным подмножеством множестваВ, и обозначается через A Ì B.

Множество можно задать перечислением его элементов, заключая весь список элементов в фигурные скобки, или с помощью так называемого характеристического свойства. В первом случае это выглядит следующим образом: A ={ a ₁, a ₂, …, a_n, …}, где A - это множество, состоящее из элементов a ₁, a ₂, …, a_n, …. Во втором случае A ={ a | P (a)}. Это означает, что множество А состоит из таких элементов a, которые удовлетворяют некоторому условию P (a). P (a) - характеристическое свойство.

1.2. Основные операции над множествами и их свойства. Пусть A, B - некоторые множества.

Пересечением множеств A и B называется множество { a | a Î A и a Î B }, состоящее из элементов, которые входят и в A, и в B. Пересечение множеств A и B обозначается через A Ç B. Таким образом, A Ç B ={ a | a Î A и a Î B }

Объединением множеств A и B называется множество { a | a Î A или a Î B }, состоящее из элементов, которые входят или в A, или в B, или в оба. Пересечение множеств A и B обозначается через A È B. Таким образом, A È B ={ a | a Î A или a Î B }.

Разностью множеств A и B называется множество { a | a Î A и a Ï B }, состоящее из элементов, которые входят в A, но не входят в B. Разность множеств A и B обозначается через A \ B. Таким образом, A \ B ={ a | a Î A и a Ï B }.