Матрицы. 3.1.1. Определители. Матрицейразмерностиm´nнад полемF называется таблица элементов из F, расположенных в m строках и n столбцах

3.1.1. Определители. Матрицейразмерностиm ´ nнад полемF называется таблица элементов из F, расположенных в m строках и n столбцах, заключённая в круглые скобки:

где a_ij ¾ элемент матрицы, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца.

Матрицы обозначаются через заглавные буквы латинского алфавита: A, B, C и т.д. Другое обозначение матриц: (a_ij) _{m ´ n}, (b_ij) _{m ´ n} и т.д., где m ´ n ¾ размерность матриц.

Если m = n, то матрица называется квадратной.

3.1.2. Определение. Пусть даны матрицы A =(a_ij) _{m ´ n}, B =(b_ij) _{n ´ k} (число столбцов первой матрицы равно числу строк второй). Произведением матриц A и B называется матрица C =(c_ij) _{m ´ k}, где c_ij = a_{i 1} b _{1 j} + a_{i 2} b _{2 j} +…+ a_inb_nj. Произведение матриц A и B обозначается через AB.

3.1.3. Определение. Квадратная матрица

называется единичной.

Единичную матрицу обозначают через E или, для того, чтобы подчеркнуть её размерность, через E_n.

3.1.4. Отметим некоторые свойства умножения матриц:

1) Если определены произведения AB, BC матриц A, B, C, то также определены произведения (AB) C, A (BC), при этом (AB) C = A (BC).

2) Если A ¾ матрица размерности m ´ n, то AE_n = E_m A = A. В частности, для любой квадратной матрицы A размерности n ´ n AE = EA = A.

3) Вообще говоря, AB ¹ BA.

3.1.5. Определение. Элементарными преобразованиями строк матрицы называется одно из следующих преобразований

1) Умножение всех элементов некоторой строки на ненулевой элемент поля.

2) Прибавление к элементам некоторой строки соответствующих элементов другой строки.

3) Перемена местами некоторых двух строк матрицы.

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы.