Определение
Элементарными преобразованиями строк матрицы называется преобразования следующих типов:
1) Умножение каждого элемента некоторой строки на одно и то же ненулевое число. Остальные строки остаются без изменения (кратко: умножение строки на число).
2) Прибавление к каждому элементу некоторой строки соответствующих элементов другой строки, умноженные на одно и то же число. Остальные строки (в том числе и прибавляемое) остаются без изменения (кратко: прибавление к строке другой, умноженной на число).
3) Перемена местами некоторых двух строк матрицы. Остальные строки остаются без изменения.
Эти преобразования называются соответственно преобразованиями первого, второго и третьеготипа (рода). Последовательно применяя их, мы получаем более сложные преобразования.
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы.
Теорема
Преобразование третьего типа является некоторой комбинацией преобразований первого и второго типов.
Таким образом, преобразованием третьего типа можно отнести к более сложным, чем элементарные. Но его принято всё-же считать элементарным ради удобства.
Теорема
Любую матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к ступенчатой. Если к матрице применить элементарные преобразования строк и столбцов, то её можно привести к трапециедальному виду.
Например,
[1]
á(1) Поменяли местами первую и вторую строки (преобразование третьего типа).
(2) Первую строку, умноженную на 2, прибавили ко второй и вычли из третьей, умноженную на 3, прибавили к четвёртой (преобразования второго типа).
(3) Вторую строку вычли из третьей и вторую строку, умноженную на 14/11 вычли из четвёртой.
(4) Поменяли местами третью и четвёртую строки.ñ
Таким образом, преобразовали исходную матрицу
в ступенчатую
.
Теперь, поменяв местами второй и третий столбец, а затем поменяв его же с четвёртым столбцом, перемещаем второй столбец на место четвёртого, третий и четвёртый столбцы окажутся соответственно на месте второго и третьего столбцов:
,
тем самым преобразовали исходную матрицу в трапециедальную.
Упражнения
Привести матрицу к ступенчатому и трапециедальному видам:
а) ; б) ;
в) ; г) .