Умножение матрицы на число и его свойства

2.2.1. Определение. Произведением матрицы A =(a_ij) _{m ´ n} на число a называется матрица (aa_ij) _{m ´ n}.

Произведение матрицы на число a обозначается через aA.

Таким образом, по определению a (a_ij) _{m ´ n} =(aa_ij) _{m ´ n}, то есть при умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число. Например,

-3 = .

2.2.2. Теорема. Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:

1^о. 1 A = A, (-1) A =- A, 0 A = O, a O = O.

2^о. (ab) A = a (bA) для любых a, b Î R.

3^о. (a + b) A = aA + bA для любых a, b Î R.

4^о. a (A + B)= aA + aB для любого a Î R.

2.2.3. Эти свойства имеют естественные обобщения. Например,

3 ¢ ^о. (a - b) A = aA - bA.

и, вообще,

(a ₁± a ₂±…± a_k) A = a ₁ A ± a ₂ A ±…± a_kA,

где знаки «+» и «-» могут комбинироваться произвольным образом.

Аналогично

4 ¢ ^о. a (A ₁± A ₂±…± A_k)= aA ₁± aA ₂±…± aA_k.