Пусть - область в трёхмерном пространстве. Векторным полем на называется векторная функция , заданная в точках , где - радиус-вектор точки . Аналогично определяется плоское векторное поле.
Векторной линией (силовой линией, линией тока) называется гладкая кривая, касательная к которой в каждой точке имеет направление соответствующего ей вектора поля . Векторные линии поля находятся из системы дифференциальных уравнений
.
Если - плоская кусочно-гладкая простая (без точек самопересечений) замкнутая кривая, нигде не касающаяся векторных линий поля , то поверхность, образованная векторными линиями, пересекающими , называется векторной трубкой поля .
Дивергенцией векторного поля называется скалярная величина .
Ротором (вихрем) векторного поля называется вектор .
Все операции векторного анализа можно выразить при помощи оператора Гамильтона – символического вектора (читается - набла), определяемого равенством . Так, например: , , .
Оператором Лапласа (лапласианом) называется скалярный символ , определяемый равенством .
11.95 Найти векторные линии плоского векторного поля :
а) ; б) ; в) ; г) .
11.96 Найти векторные линии пространственного векторного поля :
а) ; б) .
11.97 Вычислить (, ): если:
а) ; б) ;
в) ; г) .
11.98 Вычислить (, ): если:
а) ; б) ;
в) ; г) .
11.99 Доказать следующие соотношения:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ;
е) .
11.100 Найти , если .
11.101 Найти , если .
11.102 Найти . 11.103 Найти .