Можно показать, что справедливо соотношение, называемое первым замечательным пределом:
.
Рассмотрим на примере, как можно использовать данную формулу для разрешения особенностей тригонометрических функций в конечных точках.
Задача 2.1.в. Вычислить
.
Решение. Убедимся, что мы имеем дело с неопределенностью вида . При получаем:
Прежде всего, сделаем замену переменной , так, чтобы новая переменная стремилась к 0, когда :
Используя формулу преобразования суммы синусов в произведение и формулу для косинуса двойного угла, получаем
.
Отсюда
.
Пусть сначала , тогда . Чтобы свести полученное выражение к формуле , поделим и умножим на , а на :
Заменяя пределы дробей и на 1, получаем
При имеем , и предел отличается только знаком:
.