Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
КУРС ЛЕКЦИЙ
По дисциплине «Математика» 2 семестр
Для студентов заочной формы обучения
Раздел № 2 «Неопределенный и определенный интегралы.
Приложение определенного интеграла»
Волгодонск
Первообразная и неопределенный интеграл.
Определение: Первообразной F(x) для функции f(x) на промежутке называют функцию, производная которой .
Пример. Для функции : первообразная на R, так к при любом х.
Лемма. Если производная функции на промежутке , то .
Доказательство: По теореме Лагранжа для любых x1, x2 Î выполняется , где , так как Þ Þ Þв силу произвольности точек x1 и x2 F(x) = C(const).
Ч.т.д.
Теорема: Пусть функция F(x) – первообразная f(x), Ф(x) – другая первообразная f(x) Þ F(x)=Ф(x)+С.
Доказательство: так как Þ по Лемме Þ .
Ч.т.д.
Таким образом, из теоремы следует, что выражение описывает все множество первообразных функции f(x).
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) по переменной x называется множество всех её первообразных , где .
|
|
ò ‒ знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интеграла, ‒ подынтегральное выражение, С – const интегрированная.
Вычисление неопределенного интеграла называют интегрированием. Проверить правильность вычисления неопределенного интеграла можно продифференцировав результат.
; - верно.
Свойства неопределенного интеграла.