Отметим некоторые теоремы о пределах, которые часто применяются для решения задач.
Если существуют конечные пределы и , то
1) ;
2) ;
3) (если ).
Отметим еще два замечательных предела и следствия из них:
1) ;
2) ;
3) ; 4) ; 5) .
Задача. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) . ж) .
Решение. а) Если , то для нахождения предела частного двух многочленов достаточно разделить и числитель, и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на , где - степень многочлена, стоящего в знаменателе: .
б) Умножим числитель и знаменатель дроби на , избавившись тем самым от иррациональности в знаменателе. Итак,
.
в) Для решения этой задачи воспользуемся первым замечательным пределом:
(Так как при ).
г) Для решения данной задачи воспользуемся вторым замечательным пределом:
.
Последнее равенство вытекает из того, что в квадратной скобке стоит , где .
Решения задач е, ж аналогичны решению задачи а.
Например, задача ж имеет следующее решение:
.
|
|