Тема «Геометрические преобразования»

101. Найдите центр симметрии заданных точек А и А₁.

102. Докажите, что центр окружности является ее центром симметрии.

103. Дан луч ОА. Постройте фигуру, центрально-симметричную ему относительно точки О. Что это за фигура?

104. Докажите, что две пересекающиеся прямые, проходящие через две симметричные относительно центра точки, сами не симметричны относительно того же центра симметрии.

105. Докажите, что две прямые, проходящие через центр симметрии, отсекают равные отрезки от двух прямых, симметричных относительно этого центра.

106. Осевая симметрия задана парой соответствующих точек А и А₁. Постройте ось симметрии а.

107. Постройте фигуру, симметричную данному треугольнику ОРR относительно оси l, если ОР пересекает l.

108. В некотором четырехугольнике средние линии (соединяют середины противоположных сторон) являются его осями симметрии. Определите вид данного четырехугольника.

109. Докажите, что точки пересечения двух окружностей симметричны относительно прямой, соединяющей их центры.

110. Точки Х и X₁ принадлежат различным сторонам угла АОВ, причем ОХ = ОХ₁. Докажите, что точки Х и X₁ симметричны относительно биссектрисы угла АОВ.

111. Постройте фигуру, в которую перейдет квадрат АВСD при повороте вокруг точки D по часовой стрелке на угол 45°.

112. Постройте фигуру, в которую перейдет равносторонний треугольник АВС при повороте вокруг точки А против часовой стрелки на угол 120°.

113. Через центр О квадрата проведены два взаимно перпендикулярных отрезка, концы которых принадлежат сторонам квадрата. Докажите, используя поворот, что отрезки равны.

114. Медианы АА₁, ВВ₁ и СС₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А₂, В₂, С₂ – середины соответствующих отрезков АМ, ВМ, СМ. Докажите, что треугольники А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ равны.

115. Через концы диаметра АВ окружности с центром в точке О проведены касательные, на которых по разные стороны от диаметра отложены два равных отрезка АС и ВD. Докажите, что точки С, D и О принадлежат одной прямой.

116. На каждой медиане треугольника построена точка, делящая ее в отношении 1:2, считая от вершины. Через эти точки проведены прямые, параллельные противоположным сторонам треугольника. Докажите, что эти прямые, пересекаясь, образуют треугольник, равный данному.

117. Две окружности (O; R) и (O₁; R) касаются внешним образом в точке М. Через нее проведены две секущие АВ и СD, причем точки А, С принадлежат одной окружности, а В, D – другой. Докажите, что АС || ВD.

118. Точки М и М₁ симметричны относительно точки А. Точки М₁ и М₂ симметричны относительно точки В. Докажите, что отрезок ММ₂ = 2АВ.

119. Точки А и D, B и С симметричны относительно прямой l. Какой вид имеет четырехугольник АВСD? Докажите: а) AD || BC; б) АВ = СD.

120. Даны две пересекающиеся окружности равных радиусов. Секущая, параллельная прямой, соединяющей их центры, пересекает первую окружность в точках А и В, а вторую в точках С и D. Определите отрезок АС, если расстояние между центрами окружностей равно d.