Прямая линия на плоскости. Главная идея аналитической геометрии:Геометрические объекты описывать не циркулем и линейкой, а с помощью уравнений (революция 18 века)

Главная идея аналитической геометрии:Геометрические объекты описывать не циркулем и линейкой, а с помощью уравнений (революция
18 века).

Алгебра: Рассмотрим произвольное алгебраическое уравнение, содержащее две переменные величины: F (x; y) = 0.

Пример. 3 х – 2 у = 0; х ² – 4 у = 0.

Решением такого уравнения называется любая упорядоченная пара чисел (x_i; y_i), которая обращает это уравнение в верное равенство. Число решений – бесконечное множество, т.к. в уравнении F (x; y) = 0 одну переменную можно назначить, а вторую переменную вычислить из уравнения.

Переход от алгебры к геометрии происходит в тот момент, когда паре чисел, образующих решение уравнения, сопоставляется точка на координатной плоскости. Бесконечному множеству решений уравнения
F (x; y) = 0 соответствует бесконечное множество точек на координатной плоскости, которые сливаются в сплошные линии.

График уравнения с двумя переменными есть множество точек, координаты которых служат решениями этого уравнения.

Переход от геометрии к алгебре (обратная задача). Линии, с которыми мы встречаемся на практике, являются геометрическим местом точек, обладающих общим свойством.

Пример. Окружность – это г.м.т. равноудаленных от центра.

Алгоритм построения уравнения, описывающего геометрическую линию

1. Обозначим через M (x; y) произвольную точку линии.

2. Запишем равенством общее свойство всех точек линии.

3. Входящие в это равенство отрезки выразим через текущие координаты (x; y) точки M и другие параметры задачи.

Пример. Окружность.

1)

2)Общее свойство | OM | = R.

3) = R, x ² + y ² = R ².