Вывод уравнений

6 7 8 9 10 11 12

Способ 2. Заданы точка M ₀(x ₀; y ₀) и направляющий вектор a = { a ₁; a ₂}.

1) Пусть M (x; y) – произвольная точка прямой.

2) Общее свойство: любой отрезок прямой, в том числе и вектор , коллинеарен вектору a, т.е. = а.

3) Переход к координатной форме этого условия

(x – x ₀) i + (y – y ₀) j = (a ₁ i + a ₂ j) .

Из этих равенств следует каноническое уравнение прямой:

. (1)

Способ 1. На прямойзаданы две точки M ₁(x ₂; y ₂) и M ₀(x ₂; y ₂).

Вектор может служить направляющим вектором = a = { x ₂ – x ₁; y ₂ – y ₁} и тогда каноническое уравнение прямой переходит в уравнение прямой проходящей через две точки

. (2)

Если заданы точки пересечения прямой с осями координат M ₁(a; 0) и M ₂(0; b), то получаем у равнение прямой в отрезках

. (3)

Способ 3. Заданы точка M ₀(x ₀; y ₀) и нормальный вектор n = { A; B }.

1) Пусть M (x; y) – произвольная точка прямой.

2) Общее свойство: любой отрезок прямой, в том числе и вектор , перпендикулярен вектору n, т.е. n = 0.

3) Переход к координатной форме этого условия

(A i + B j)[(x – x ₀) i + (y – y ₀) j ] = 0

дает уравнение прямой проходящей через точку с заданным нормальным вектором

A (x – x ₀) + B (y – y ₀) = 0 (4)

а выражение

Ax + By + C = 0, (5)

где называется общим уравнением прямой. Имея такое уравнение, можно сразу записать координаты нормального и направляющего векторов прямой: n = { A; B }, a = {1/ A; –1/ B }. Последнее равенство следует из сравнения записи общего и канонического уравнения.

Пример. Дано 3 x + 2 y + 4 = 0, значит n = {3; –2}; a = {1/3; –1/2}.

Способ 4. Задана точка M ₀(x ₀; y ₀), а направляющий вектор a = { a ₁; a ₂} не определен. В этом случае каноническое уравнение преобразуется в уравнение пучка прямых, проходящих через заданную точку

, (6)

где k = a ₂/ a ₁ = tg – угловой коэффициент и –угол пересечения прямой с осью Ох. Если для прямой определено k и заданная точка лежит на оси Оу, т.е. M ₀(x ₀; y ₀)
M ₀(0; b), то получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом