Теорема 2. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенному на приведённых к общему началу векторах, взятому со знаком <+>, если – правая тройка векторов, и со знаком <->, если тройка – левая.
Если векторы – компланарны, то объем равен нулю, и .
Доказательство. Пусть S – площадь параллелограмма, построенного на векторах , – единичный вектор, перпендикулярный к векторам и образующий с ними правую тройку. (Вектор – орт векторного произведения .)
Из геометрического свойства 2 векторного произведения
(18)
– высота параллелепипеда, построенного на векторах , с основанием S.
, а , если правая тройка, то есть той же ориентации, что и .
, а , если тройка левая.
Если векторы – компланарны, то .
Следствие 1. .
Доказательство. Скалярное произведение векторов коммутативно, следовательно
.
По теореме 2: , .
Далее будем обозначать смешанное произведение , так как .
Следствие 2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.
|
|