Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду

(*)

В большинстве формул теории линий второго порядка коэффициенты входят деленными на 2, т. е. буквы обозначают половину коэффициента. Первые три члена уравнения называются старшими членами.

Можно записать уравнение (*) следующим образом:

Пусть дано общее уравнение II порядка (*). Требуется упростить это уравнение путём перехода к другой системе координат (с более выгодным расположением осей):

1) добиться, чтобы число членов первой степени стало наименьшим;

2) в группе старших членов избавиться от слагаемого с произведением координат;

3) избавиться от свободного члена.

Для этого воспользуемся параллельным переносом и поворотом координатных осей.

Выведем формулы преобразования координат при параллельном переносе и повороте осей. Пусть точка имеет координаты в «старой системе координат» и – в новой системе координат, полученной путем параллельного переноса и последующего поворота осей.

Параллельный перенос координатных осей

(1)

Поворот координатных осей

Пусть ,

(2)

Формулы (1) и (2) задают старые координаты точки через ее координаты в новой системе.

Рассмотрим приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду на примере.

Пусть дано общее уравнение второго порядка:

. (3)

Произведем параллельный перенос координатных осей в точку по формулам (1): .

(3’)

Чтобы избавиться от членов первого порядка, приравняем коэффициенты при них к нулю:

Решив систему, найдем координаты точки S , нового начала координат: S . Подставим эти координаты в уравнение (3’). В новых координатах уравнение примет вид:

(4)

Геометрический смысл преобразования – перенести начало координат в центр кривой.

Осталось повернуть оси, чтобы они совпали с осями симметрии кривой. Воспользуемся формулами поворота координатных осей (2).

(5)

Подбираем угол так, чтобы коэффициент при произведении стал равен нулю, т. е. решаем уравнение

Определяем и подставляем в (5):

Приводим уравнение к каноническому виду, разделив все коэффициенты на 20:

. (6)

Уравнение (6) – это каноническое уравнение эллипса с полуосями 2 (по оси О ) и 1(по оси О ).

Эллипс

Определение. Эллипс – это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости и есть постоянная величина. Точки и называются фокусами.