Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠ CBA = ∠ C1B1A1, AB = k*a1b1, BC = k*b1c1, AC = k*a1c1

Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠ CBA = ∠ C1B1A1, AB = k*A1B1, BC = k*B1C1, AC = k*A1C1. Докажем, что Δ ABC подобен Δ A1B1C1.
Подвергнем Δ A1B1C1 гомотетии с коэффициентом k. Получится некоторый Δ A2B2C2.
Δ A2B2C2 = Δ ABC по третьему признаку равенства треугольников (A2С2 = k*A1С1 = AС, A2B2 = k*A1B1 = AB, B2С2 = k*B1С1 = BС, по условию).
Треугольники A1B1C1 и A2B2C2 гомотетичны, следовательно подобны. Δ A2B2C2 = Δ ABC, следовательно подобны тоже, а значит треугольники A1B1C1 и ABC подобны. Теорема доказана.