Лабораторная работа № 2

ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ И ИХ СОЕДИНЕНИЙ

Цель. Для звеньев и соединений звеньев, заданных передаточными функциями, выбираемыми из табл. 2.1 (см. приложение), параметры звеньев выбираются из табл. 2.2 (см. приложение) в зависимости от варианта, построить переходные и импульсные переходные процессы при различных постоянных времени и коэффициента усиления с нулевыми начальными условиями: задав значения коэффициентов пропорциональности k и постоянных времени T; изменив значение k с прежним T; изменив значение T с первоначальным k.

Теоретическая часть

Системы автоматического регулирования (САР) принято изображать в виде структурных схем. Структурная схема – это условное изображение, в котором отдельные элементы системы представляются прямоугольниками, а связи между элементами изображаются стрелками, показывающими направление передачи сигнала, над которыми ставится условное обозначение сигнала.

Для создания общей методики расчета различных САР было введено понятие динамического звена. Типовым звеном системы автоматического регулирования является составной элемент, имеющий один вход и один выход, и описываемый дифференциальным уравнением не выше второго порядка. На структурной схеме объектов управления звенья изображаются в виде прямоугольников, внутри которых записывается передаточная функция звена (рис. 2.1).

Одной из основных динамических характеристик объекта, широко используемых в теории автоматического регулирования, является передаточная функция.

Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Лапласу выхода объекта у (р) к преобразованному по Лапласу входу х (р) при нулевых начальных условиях. Передаточная функция является функцией комплексного переменного p, обозначается W (p): . Передаточная функция характеризует динамику объекта по определенному каналу, связывающему вход объекта с выходом. Если в объекте имеется несколько входов, то каждому каналу связи входа с выходом будет соответствовать своя передаточная функция.

Также как и дифференциальное уравнение, передаточная функция полностью характеризует динамику объекта. Если задано дифференциальное уравнение объекта, то для получения передаточной функции необходимо преобразовать дифференциальное уравнение по Лапласу и из полученного алгебраического уравнения найти соотношение .

Если известна передаточная функция объекта, то изображение выхода объекта у (р) равно произведению передаточной функции на изображение входа х (р): .

Любая самая сложная структурная схема может быть изображена с помощью трех основных типов соединения параллельного соединение, последовательного соединение и соединения с обратной связью.

Параллельное соединение звеньев. Структурная схема представлена на рис. 2.2. При параллельном соединении входные сигналы всех звеньев одинаковы и равны входу системы х (р), а выход системы у (р) равен сумме выходов звеньев.

Запишем уравнения выходных координат каждого звена:

;

Выход всей системы будет равен

Передаточная функция системы:

Таким образом, передаточная функция системы параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев.

Последовательное соединение звеньев. При последователь ном соединении выход, предыдущего звена подается на вход последующего (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Структурная схема последовательного соединения звеньев

Уравнения выходных сигналов отдельных звеньев имеют вид:

;

;

Выходной сигнал последнего звена является выходом всей системы , передаточная функция системы:

Таким образом, передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев. Это соотношение справедливо лишь в том случае, если выход каждого звена зависит только от его входа и не зависит от выходной координаты последующего звена.

Соединение звеньев с обратной связью. Обратной связью называют передачу сигнала с выхода звена на его вход (рис. 2.4), где сигнал обратной связи х _ос алгебраически суммируется с внешним сигналом х. Причем, если суммарный сигнал x ₁ определяется соотношением x ₁ = x + x_oc, то обратная связь называется положительной, если x ₁ = x – x _oc, т.е. сигнал обратной связи вычитают из внешнего сигнала, то обратная связь называется отрицательной.

В линии обратной связи в общем случае может быть включено звено, в котором выходной сигнал y преобразуется в соответствии с передаточной функцией W _oc(p) в сигнал x _oc. Иногда это звено может отсутствовать, т.е. W _oc(p) = l и х _ос = у.

Найдем соотношение между передаточной функцией замкнутой системы W _зс(p) и передаточными функциями отдельных звеньев W _n(p) и W _oc(p). Запишем формулы выходных сигналов каждого звена

;

Исключив из полученной системы уравнений x ₁(p) и x _ос(p), получим , или

откуда передаточная функция замкнутой системы с положительной обратной связью: ,

передаточная функция замкнутой системы с отрицательной обратной связью: .

В реальных условиях на объект управления оказывают влияние внешние воздействия, которые называют возмущающими. Возмущающие воздействия (возмущения) вызывают отклонение регулируемого параметра от заданного значения.

Возмущения, действующие на САР, представляют собой непрерывные функции времени с различными законами изменения. В этом случае возникают трудности принципиального характера, так как заранее неизвестны законы измерения внешних воздействий, что затрудняет анализ динамики и статики САР. Для ликвидации возникших затруднений часто используют так называемые типовые, управляющие и возмущающие воздействия, которые представляют собой либо наиболее вероятные, либо наиболее неблагоприятные законы изменения управляющих и возмущающих воздействий. Например, довольно широко в качестве типовых используют воздействия полиномиального вида:

где n = 0, 1, 2, … – натуральные числа; – постоянные величины; 1(t) – единичная ступенчатая функция,

При n = 0 имеем единичное ступенчатое воздействие: .

При n = 1 получим линейное воздействие: .

Графическое представление типовых воздействий представлено на рис. 2.5.

В некоторых случаях в качестве типового используется единичное импульсное воздействие следующего вида: ,

где d (t) – единичная дельта-функция,

Единичная дельта-функция (единичный импульс) представляет собой математическую идеализацию импульса бесконечно малой длительности, бесконечно большой амплитуды, имеющего конечную площадь, равную единицы, т.е. .

Момент приложения внешних воздействий к САР, обычно принимается за ноль отсчёта времени. При таком подходе внешние воздействия для отрицательного момента времени равны нулю. В связи с этим, в аналитические выражения для внешних воздействий в качестве множителя вводят единичную ступенчатую функцию.

Важнейшей характеристикой САР и её составных элементов являются переходные и импульсные переходные (импульсные) функции. Графическое представление переходных и импульсных функций называют временными характеристиками. Переходной функцией h (t) называют функцию, описывающую сигнал на выходе при условии, что на вход подано единичное ступенчатое воздействие, при нулевых начальных условиях. График переходной функции, представляющий собой зависимость функции h (t) от времени t, называют переходной характеристикой. В том случае, если амплитуда единичного ступенчатого воздействия отлична от единицы получают разновидность переходной характеристики, которая называется кривой разгона.

Импульсной или весовой функцией w(t) называют функцию, описывающую реакцию на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях. График зависимости функции w(t) от времени называют импульсной переходной (импульсной) характеристикой.

Любое внешнее воздействие сложной формы может быть приближенно представлено в виде совокупности типовых воздействий, связанных между собой определенными математическими операциями.

Аналитическое определение переходных функций и характеристик основано на следующих положениях. Если задана передаточная функция системы или составной части W (p) и известен входной сигнал x (t), то выходной сигнал y (t) определяется следующим соотношением: .

Таким образом, изображение выходного сигнала представляет собой произведение передаточной функции на изображение входного сигнала . Сигнал y (t) в явном виде получим после перехода от изображения к оригиналу y (t).

Так как изображение единичного ступенчатого воздействия равно , то изображение переходной функции определяется соотношением: .

Следовательно, для нахождения переходной функции необходимо передаточную функцию разделить на p и выполнить переход от изображения к оригиналу.

Изображение единичного импульса равно 1. Тогда изображение импульсной функции определяется выражением:

Таким образом, передаточная функция является изображением импульсной функции.

Так как , то между импульсной и переходной функциями существует следующая зависимость:

Импульсная и переходная функции, как и передаточная функция, являются исчерпывающими характеристиками системы при нулевых начальных условиях. По ним можно определить выходной сигнал при произвольных входных воздействиях.

В работе рассматриваются следующие звенья:

1) идеальное интегрирующее: ;

2) реальное интегрирующее: ;

3) апериодическое 1-го порядка: ;

4) апериодическое 2-го порядка: ;

5) реальное дифференцирующее: ;

6) колебательное (0 < x < 1): ;

7) консервативное: ;

8) звено запаздывания: ,

где k – коэффициент пропорциональности (коэффициент усиления); T – постоянная времени интегрирования, с; t – время запаздывания, с; 0 < x < 1 – коэффициент затухания колебаний (коэффициент демпфирования).

Алгоритм выполнения работы

1. Записать передаточную функцию звена с нулевыми начальными условиями.

2. Определить вид переходного процесса с учетом единичного ступенчатого воздействия и единичной импульсной функции.

3. Построить графики переходного процесса и весовой функции при различных значениях постоянных времени и коэффициента усиления (см. задание).

4. Аналогичным образом проанализировать второе звено.

5. В соответствии с п. 1 – 3 проанализировать поведение системы, состоящей из двух заданных звеньев.

Пример расчета

Для звеньев и соединения звеньев, заданных передаточными функциями: , ,

построить переходные и импульсные переходные процессы при различных значениях постоянных времени и коэффициента усиления.

Решение

1. Передаточная функция реального дифференцирующего звена: , откуда ,

где – единичное ступенчатое воздействие, или – единичная импульсная функция, следовательно: , .

2. Выполним обратное преобразование Лапласа (см. приложение табл. 1.3) и получим переходной процесс для единичного ступенчатого воздействия: ,

Так как между импульсной и переходной функциями существует следующая зависимость , то .

3. Строим временные характеристики звена, рис. 2.6.

Рис. 2.6. Временные характеристики реального дифференцирующего звена

4. Передаточная функция апериодического звена второго порядка: , откуда

Учитывая единичное ступенчатое воздействие или единичную импульсную функцию получим соответственно:

5. Выполним обратное преобразование Лапласа (см. приложение, табл. 3) и получим переходной процесс для единичного ступенчатого воздействия .

Импульсная функция .

6. Строим временные характеристики звена, рис. 2.7.

Рис. 2.7. Временные характеристики апериодического звена второго порядка

7. Так как передаточная функция для последовательного соединения звеньев , следовательно для последовательно соединенных реального дифференцирующего звена и апериодического звена второго порядка передаточная функция запишется следующим образом:

, откуда

где k ₁ – коэффициент усиления; k ₂ – коэффициент усиления апериодического звена второго порядка; T ₁ – постоянная времени реального дифференцирующего звена; T ₂, T ₃ – постоянные времени апериодического звена второго порядка.

Учитывая единичное ступенчатое воздействие или единичную импульсную функцию получим соответственно: