Задание 5

1. Написать уравнение эллипса, проходящего через точку пересечения гиперболы х² – у² = 2 с прямой х + у – 2 = 0, если известно, что фокусы эллипса совпадают с фокусами гиперболы.

2. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом 24х² + 49у² = 1176 при условии, что ее эксцентриситет e = 1,25.

3. Написать уравнение окружности такой, чтобы ее диаметром оказался отрезок прямой х + у – 4 = 0, заключенный между осями координат.

4. Большая ось эллипса втрое больше его малой оси. Составить каноническое уравнение этого эллипса, если он проходит через точку М(3;Ö3).

5. Дана гипербола х² – у² = 8. Составить уравнение эллипса, проходящего через точку М(4;6) и имеющего фокусы, которые совпадают с фокусами данной гиперболы.

6. Найти точки пересечения параболы у² = 8х с эллипсом, у которого правый фокус совпадает с фокусом этой параболы, большая полуось равна 4 и фокусы лежат на оси Ох.

7. Фокусы гиперболы лежат в точках F₁(Ö7;0) и F₂(-Ö7;0). Гипербола проходит через точку А(2;0). Найти уравнения ее асимптот.

8. Найти параметр р параболы у² = 2рх, если известно, что эта парабола проходит через точки пересечения прямой у = х с окружностью х² + у² – 6х = 0.

9. Найти точки пересечения параболы у² = х с прямой, проходящей через фокус этой параболы параллельно ее директрисе.

10. Через правый фокус гиперболы 4х² – 5у² = 20 проведены прямые, параллельные ее асимптотам. Определить точки пересечения этих прямых с гиперболой.

11. Написать уравнение окружности, чтобы ее центр совпадал с фокусом параболы у² = 8х и чтобы окружность прошла через начало координат.

12. Оси гиперболы совпадают с осями координат. Гипербола проходит через точки пересечения параболы х² = 2у с прямой х – 2у + 6 = 0. Составить уравнение этой гиперболы.

13. Эллипс проходит через точку пересечения прямой 3х + 2у = 7 с параболой у² = 4х (взять точку с меньшей абсциссой). Оси эллипса совпадают с осями координат. Составить уравнение этого эллипса, если его эксцентриситет равен 0,6.

14. Эксцентриситет гиперболы в 2 раза больше углового коэффициента ее асимптоты. Гипербола проходит через точку М(3;-1), ее действительная ось лежит на оси Ох, а центр в начале координат. Найти точки пересечения этой гиперболы с окружностью х² + у² = 10.

15. Написать уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, а осью симметрии является ось Ох, если известно, что расстояние от ее фокуса до центра окружности х² + у² – 10х – 8у+ + 25 = 0 равно 5.

16. Составить каноническое уравнение эллипса, правая вершина которого совпадает с правым фокусом гиперболы 8х² – у² = 8. Эллипс проходит через точки пересечения параболы у² = 12х с данной гиперболой.

17. Вычислить расстояние от фокуса гиперболы 4х² – 5у² = 20 до ее асимптот. Найти эксцентриситет этой гиперболы.

18. Найти точки пересечения параболы у² = х с окружностью, которая проходит через начало координат, имеет центр на оси Ох и радиус, равный 5.

19. Составить уравнение эллипса, если его фокусы совпадают с фокусами гиперболы 4х² – 5у² = 20, а эксцентриситет эллипса равен 0,6.

20. Окружность имеет центр в левой вершине гиперболы х² – 4у² = =16 и радиус, равный вещественной полуоси этой гиперболы. Найти точки пересечения этой окружности с асимптотами данной гиперболы.

21. Составить уравнение гиперболы, имеющей эксцентриситет e= 1,5, если известно, что ее фокусы совпадают с фокусами эллипса 2х² + +5у² = 30.

22. Составить уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок прямой х + у – 4 = 0, вырезанный параболой у² = 2х.

23. Найти расстояние от фокуса параболы 8у = х² до прямой 3х + +4у + 2 = 0.

24. Написать уравнение окружности, проходящей через точки А(3;0) и В(-1;2), если известно, что ее центр лежит на прямой х – у + 2 = 0.

25. Вычислить расстояние от центра окружности х² + у² = 10х до асимптот гиперболы х² – 4у² = 20.

26. Составить каноническое уравнение эллипса, сумма полуосей которого равна 8 и расстояние между фокусами равно 8.

27. В эллипс 24х² + 49у² = 1176 вписан прямоугольник, две противоположные стороны которого проходят через фокусы. Вычислить площадь этого прямоугольника.

28. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(5;0) и В((1;4), если центр ее лежит на прямой х + у = 3.

29. Написать каноническое уравнение эллипса, у которого эксцентриситет равен 0,8, а большая полуось больше малой полуоси на 2 единицы.

30. Найти каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку М(Ö40;2) и имеющей асимптоты 3у = ±х.