Решение задач разного уровня

1 2

А класс Геометрия

16.12.2014

Урок № 25

Тема урока:

Трапеция. Средняя линия треугольника, трапеции.

Записать в тетради число, тему урока

Решение задач разного уровня

З адача 1. Тупой угол равнобокой трапеции на 20º больше острого угла. Найдите углы этой трапеции. (Ответ: 80º, 80 º, 100 º,100 º.)

Задача 2. В равнобокой трапеции периметр равен 40 см, средняя линия —12 см. Найдите боковую сторону трапеции. (Ответ: 8 см.)

Задача 3. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, равным 12 см, и боковой стороной, равной 10 см, точки D и E — середины сторон AB и BC соответственно. Докажите, что ADEC — трапеция. Найдите ее периметр. (Ответ: 28 см.)

Задача 4. Биссектрисы углов при основании трапеции пересекаются на ее втором основании. Докажите, что второе основание равно сумме боковых сторон трапеции.

Доказательство

Пусть ABCD (рис. 1) — данная трапеция (BC AD), AK — биссектриса угла BAD. Следовательно, ∠BAK =∠KAD. Но так как ∠BKA =∠KAD как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AK, то треугольник ABK равнобедренный с основанием AK

и AB =BK. Аналогично треугольник KCD равнобедренный с основанием KD и CD =KC. Отсюда BC =BK+KC =AB+CD, что и требовалось доказать.

Задача 5. В равнобокой трапеции меньшее основание равно 10 см, боковая сторона — 4 см, а угол между боковой стороной и большим основанием равен 60º. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение

Пусть ABCD (рис. 2) — данная трапеция (AD ǁ BC), AB =CD =4 см,

BC =10 см, BC <AD, ∠BAD =60º. Проведем высоту BF (BF ⊥AD).

В треугольнике ABF ∠AFB =90º, ∠ABF =30º. Значит, AF = AB = 2 см. Так как AD =BC +2AF, то AD =10+4 =14 см. Значит, средняя линия этой трапеции (14+100:2 =12 см.

Ответ: 12 см.

Задача 6. Сторона треугольника равна 10 см, а одна из средних линий — 6 см. Найдите две другие стороны треугольника, если периметр данного треугольника равен 30 см.

Решение

По теореме о средней линии треугольника получаем, что сторона, лежащая против данной средней линии, равна 12 см, тогда третья сторона треугольника: 30−(10+12)=8 см.

Ответ: 8 см.

Задача 7. Основания трапеции равны 6 см и 20 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

Решение

Пусть ABCD (рис. 3) — данная трапеция с основаниями AD =20 см и BC=6см, точки M и N — середины диагоналей AC и BD соответственно. В треугольнике ACD проведем среднюю линию MF, параллельную AD. Так как точка M — середина AC, то по теореме Фалеса точка N — середина BD. Тогда MN принадлежит MF. MF = AD =10 см. Так как точка N — середина BD, а точка F — середина CD, то NF — средняя линия треугольника BCD

и NF= BC=3 см. Значит, MN=MF –NF=10−3=7 (см).

Ответ: 7 см.

Задача 8. Основания трапеции равны a и b. Определите длину отрезков, на которые делит большее основание прямая, проходящая через середину одной из боковых сторон параллельно второй боковой стороне трапеции.

Решение

Пусть ABCD (рис. 4) — данная трапеция, в которой AD ǁ BC,

AD =b, BC =a. Точка L — середина AB, LP ǁ CD. Проведем прямую BK, параллельную стороне CD. Значит, LP ǁ BK. Так как точка L — середина AB, то по теореме Фалеса AP =PK. Так как BK ǁ CD, BC ǁ KD, то четырехугольник KBCD — параллелограмм и KD =BC = a. Отсюда AP= , PD=