Краткие сведения из теории. Для обнаружения внутренних сил в стержне при растяжении-сжатии применяется метод плоских сечений

Для обнаружения внутренних сил в стержне при растяжении-сжатии применяется метод плоских сечений. Пусть стержень растягивается силой Р и собственным весом интенсивности , где − удельный вес материала, − площадь поперечного сечения. Мысленно рассечем стержень на расстоянии от начала отсчета на верхнем его конце (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Действие отброшенной верхней части на нижнюю заменим внутренней силой , такой, чтобы отсеченная часть стержня находилась в равновесии. Внутреннюю силу назовем нормальной, т.к. она направлена по внешней нормали к поперечному сечению.

Уравнение равновесия имеет вид

. (2.1)

Дифференцируя (2.1), получаем соотношение Д. Журавского, часто используемое для контроля правильности построенного графика-эпюры методом сечений:

. (2.2)

Если , то из (2.2) следует, что на незагруженном участке стержня , а при на равномерно загруженном участке , где − постоянная интегрирования. В этом случае − прямая линия с угловым коэффициентом . В сечении, где действует сосредоточенная сила, имеет место скачок на величину этой силы.

Если отнести силу к площади поперечного сечения , то получим силу, отнесенную к единице площади. Эту величину называют нормальным напряжением:

.

Максимальное нормальное напряжение в стержне должно быть меньше некоторого безопасного значения , называемого допускаемым напряжением, т.е.

. (2.3)

Условие (2.3) носит название условия прочности при растяжении-сжатии стержня. Максимальная нормальная сила определяется из графика-эпюры , который строится на основании соотношения (2.1).

Под действием внешних сил и температуры стержень изменяет длину на величину

,

где − коэффициент линейного расширения материала; − изменение температуры; − жесткость стержня при растяжении; − модуль упругости Эйлера – Юнга.

Если − постоянная величина, то

.

Перемещение произвольного сечения определяется по формуле

, (2.4)

где − перемещение сечения в начале координат.

Для нашего примера при использовании (2.4) получаем

,

т.е. график – квадратичная парабола (рис.2.1).

При перемещение , т.к. сечение жестко защемлено.

Дифференцируя (2.4) два раза получаем

.

По знаку второй производной можно определить, в какую сторону направлена выпуклость или вогнутость кривой . Если , то и выпуклость кривой обращена в положительном направлении оси , что и имеет место в нашем случае. Если , то и кривая будет вогнутой. Если , то обращение в нуль нормальной силы на графике-эпюре является признаком экстремума на графике перемещений.

Иногда требуется ограничить удлинения либо перемещения стержней , , где , − допускаемые значения удлинений и перемещений соответственно. Расчеты такого типа называются расчетами на жесткость.