Решение. Пусть - угол между нормальным вектором и направляющим вектором

Пусть - угол между нормальным вектором и направляющим вектором (2,1,-1). Или =90⁰, или =90°. Поэтому , т.е.

.

Следовательно, =4,35°. Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости решаем систему уравнений:

Вводим коэффициент пропорциональности t и выражаем через t координаты х, у, z: x = 2t + 1, y = t, z = -t. Подставляем эти выражения в уравнение плоскости и находим t:

3(2t+l) + 2∙t + 4(-t) – 12 = 0, 6t + 2t - 4t + 3 – 12 = 0, t = .

По найденному значению параметра t находим координаты общей точки прямой и плоскости:

; у = 2,25; z = -2,25.

Тесты

1. Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат параллельно прямой

3x + y = 3.

Ответ: 1) y = 3x; 2) y = x; 3) y = -3x; 4) y = 4x - 1.

2. Найти расстояние от точки(0;0) до прямой 3x + 4y – 5 = 0.

Ответ:1) 1; 2) ; 3) ; 4) 2 .

3. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую

4x - 3y = 8.

Ответ:1) 3x - 4y = 0; 2) 2x – y = 0; 3) 4x + 5y = 0; 4) 3x + 4y = 0.

4. Найти коэффициент A, при котором плоскость Ax + 2y – z = 0 параллельна плоскости 6x + 4y - 2z = 7.

Ответ:1)3; 2)2; 3)1; 4)-1.

5. Найти уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (3; 0; 0) на плоскость

2x – y + 2z = 4.

Ответ: 1) = = ; 2) = = ; 3) = = ; 4) = = .

6. Найти коэффициент B, при котором плоскость 2x + By + 3z = 0 перпендикулярна плоскости x + y – z = 4.

Ответ: 1) 2; 2) 1; 3) -1; 4) 3.

7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 2; 1) перпендикулярно отрезку МК, где К(4; 1; 3).

Ответ:1) 2x – y + z = 1; 2) 3x – y + 2z = 3; 3) x + z = 2; 4) y + z = 3.

8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1; -2) и отсекающей на оси Ох отрезок 3.

Ответ:1) y = 4x +2; 2) y = 5x-3; 3) y = x-3; 4) 5x + 2y + 1 = 0.

9. Найти угол между прямыми: y = 4x +2; 5x + 2y + 1 = 0.

Ответ: 1) ; 2) 1; 3) -1; 4) .

10. Найти отрезок, который отсекает плоскость 2x + y – 3z = 4 на оси .

Ответ: 1) 3; 2) 1; 3) -1; 4) 2.

10. Какую линию определяет уравнение 2 х + у+х²=0?.....

Ответ: 1) окружность; 2) прямую; 3) гиперболу; 4) параболу.

12. Какую линию определяет уравнение 3 х ²- у ² + х – у = 0?.....

Ответ: 1) окружность; 2) прямую; 3) гиперболу; 4) параболу.

13. Найти координаты центра эллипса 3 х ² + у ² + 6 х - 4 у +5 = 0.

Ответ: 1) (-1;2); 2) (1;2); 3) (-1;-2); 4) (-1;4).

14. Найти вещественную ось гиперболы х ² - 4 у ² – 16 = 0.

Ответ: 1) 3; 2) 1; 3) 4; 4) 2.