Основная теорема алгебры

Всякий многочлен с любыми комплексными коэффициентами, степень которого не меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

План доказательства.

Лемма №1. Многочлен f(x) является непрерывной функцией комплексного переменного x.

Лемма №2. Если данн многочлен n -ой степени, n>0,

f(x)=a ₀ x ⁿ +a ₁ x ^n-1 +…+a _n

с произвольными комплексными коэффициентами и если k - любое положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю значений

|a _n x ⁿ |>k|ax ^n-1 +a _n x ^n-2 +….+a ₀ |

Лемма №3.

Лемма №4. (Лемма Даламбера).

Лемма №5.

Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна в замкнутом круге Е, то она ограничена.

Лемма №6.

Действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывная в замкнутом круге Е достигает своего минимума и максимума.

Доказательство основной теоремы.