Доказательство основной теоремы

Пусть дан многочлен f(x), очевидно что если a _n -свободный член, то f(0)= a _n . Теперь применим лемму№3: возьмем М=|f(0)| =|a _n | тогда существует такое N, что при |x|>N |f(x)|>M. Теперь возьмем круг Е ограниченный окружностью с центром в нуле и радиусом N, включая границы круга. Так как (по лемме №1) многочлен f(x)-непрерывен, то и |f(x)|-непрерывен внутри замкнутого круга Е, следовательно(по лемме №6), существует такая точка x ₀ , что для всех x из E выполняется неравенство |f(x)|>=|f(x ₀ )|. x ₀ является точкой минимума для |f(x)| внутри E. Т.к для любого x:|x|>N |f(x)|>M>|f(0)|>|f(x ₀ )| точка x ₀ является точкой минимуа |f(x)| на всей комплексной плоскости.

|f(x ₀ )|=0 т.к по лемме Даламбера если |f(x ₀ )| ¹ 0 то x ₀ не точка минимума для |f(x)| Þ x ₀ -корень многочлена f(x).

Теорема доказана.