Лемма №3(Лемма Даламбера)

Если при x=x ₀ многочлен f(x) степени n, не обращаеться в нуль, то существует такое приращение h, в общем случае комплексное, что

|f(x ₀ +h)|<|f(x)|

Доказательство.

По условию f(x ₀ ) не равно нулю, случайно может быть так, что x ₀ является корнем f’(x),..,f ^(k-1) (x). Пусть k-я производная будет первой, не имеющей x ₀ своим корнем. Такое k существует т.к.

f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ )=n!a ₀

Таким образом

Т.к f(x ₀ ) не равно нулю то поделим обе части уравнения на f(x ₀ )

и обозначим

Теперь будем выбирать h. Причем будем отдельно выбирать его модуль и его аргумент.

По лемме№1:

С другой стороны при

(4)

Пусть |h|<min(б ₁ , б ₂ ), тогда

Теперь выберем аргумент h так, чтобы c _k h ^k было действительным отрицательным числом.

При таком выборе c _k h ^k =-| c _k h ^k | следовательно учитывая (4) получим

Что доказывает лемму Даламбера.