Механические колебания. Дифференциальное уравнение собственных механических колебаний и его решение

Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку массой

, (1.8.5)

пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению, т. е. к положению равновесия. Она называется квазиупругой силой, которая является консервативной. Поэтому при гармонических колебаниях нет перехода энергии механического движения в другие виды энергии – кинетическая энергия переходит в потенциальную и обратно. Полная энергия системы остается постоянной.

Если сила не является по своей природе упругой, но подчиняется закону F = - kх, то она называется квазиупругой силой.

Механическими колебаниями называются движения тел, точно повторяющиеся через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x=f(t) (1). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник

Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии. Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по гармоническому закону:

При рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила
(1)
С учетом (1) закон движения для пружинного маятника запишется как

Используя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний прижинного маятника получим уравнение
(2)