Движение частицы в кулоновском поле (дискретный спектр)

Найдем стационарные состояния дискретного спектра частицы в кулоновском поле с потенциальной энергией:

(7.1)

Решение уравнения для радиальной функции при фиксированном значении I в виде

(7.2)

где

(7.3)

— некоторый полином. Решением соответствующего уравнения для является вырожденная гипергеометрическая функция:

(7.4)

причем квадратичная интегрируемость функции имеет место только в том случае, когда F сводится к полиному конечной степени. Это, в свою очередь, осуществляется тогда и только тогда, когда первый аргумент вырожденной гипергеометрической функции есть целое отрицательное число или нуль:

(7.5)

где

(7.6)

Отсюда получаем энергетический спектр системы:

(7.7)

где

(7.8)

для выбранного значения I. Величина

называется атомной единицей энергии. Из (7.8) следует, что если фиксировать не l, а n, то l может принимать следующие значения:

(7.10)

Квантовое число n может принимать только целые положитель-

положительные значения:

(7.11)

и согласно (7.7) играет роль главного квантового числа. Радиальные функции, соответствующие паре квантовых чисел n, l, имеют вид

(7.12)

где

(7.13)

называется атомной единицей длины. Заметим, что вырожденная гипергеометрическая функция в (7.12) сводится к обобщенному полиному Лагерра:

(7.14)

а нормировочный множитель определяется из условия нормировки.

Мы видим, что дискретный энергетический спектр частицы в кулоновском поле (7.7) представляет собой систему уровней, сгущающихся к точке Е = 0, которая дискретному спектру не принадлежит. Энергия каждого стационарного состояния однозначно определяется главным квантовым числом n и не зависит от орбитального квантового числа l.

При данном значении энергии , т.е. при фиксированном значении главного квантового числа n, орбитальное квантовое

Таблица 1. Низшие стационарные состояния в кулоновском поле

число l принимает n различных значений (7.10), каждому из которых соответствует линейно независимых функций

Следовательно, помимо вырождения по магнитному квантовому числу m, обязательного для любого сферически-симметричного поля, в кулоновском поле для всех уровней, кроме основного, имеет место дополнительное вырождение по орбитальному квантовому числу l, которое было названо «случайным».

Нетрудно проверить, что кратность вырождения каждого энергетического уровня есть

(7.15)

В табл. 1 приведены квантовые числа низших стационарных состояний частицы в кулоновском поле и указана кратность вырождения каждого энергетического уровня.

Отметим, что каждому энергетическому уровню, кроме основного, принадлежат состояния как с положительной (l — четное), так и с отрицательной (l — нечетное) четностью.

Рассмотрим линейную комбинацию Ѱ собственных функций, принадлежащих некоторому энергетическому уровню:

Пусть при этом четности чисел и противоположны. Функция Ѱ

является собственной функцией, принадлежащей тому же энергетическому уровню, но она не обладает определенной четностью. Поэтому частица, движущаяся в кулоновском поле с некоторым определенным значением энергии, может находиться не только в

состояниях с определенной четностью, но и в таких состояниях, в которых четность не имеет определенного значения (исключением является низший энергетический уровень, которому соответствует только четное состояние). Так, например, в состоянии четность не имеет определенного значения.

Укажем средние значения и в произвольном стационарном состоянии :

(7.16)

(7.17)

(7.17а)

(7.176)

С помощью (7.16) и (7.17) можно найти дисперсию координаты r в произвольном состоянии :

(7.18)

Отсюда видно, что при фиксированном n координата r имеет минимальный разброс, если l имеет максимальное возможное значение Такие кулоновские орбиты называются «круговыми».

В заключение отметим, что волновые функции (7.12), вычисленные при произвольном Z,называются водородоподобными. При Z = 1 они описывают стационарные состояния атома водорода. Надо помнить, что в этом случае в уравнение Шредингера, а следовательно и в соотношения (7.9) и (7.13), входит не масса электрона, а приведенная масса атома водорода