Нахождение миноров и алгебраических дополнений – 2 ч

Цель: формирование умения находить определители второго, третьего и четвертого порядка, вычислять миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 3.1. Запомните, какова методика нахождения определителей второго, третьего и четвертого порядка. Выучите, что называют минорами и алгебраическими дополнениями элементов определителя.

?3.2.Вычислите определитель:

а) ; б) ; в) , найдите 56% от полученного числа;

г) ; д) .

& 3.3. Выучите, какими основными свойствами обладает определитель.

?3.4. Вычислите определитель . Используя свойства определителей, найдите определитель:

а) ; б) ; в) ; г) .

?3.5. Найдите миноры и алгебраические дополнения

а) элементов первого столбца определителя ;

б) элементов второй строки определителя ;

в) элемента а ₃₂ определителя .

¶3.6.Вычислите определитель: а) ; б) .

¶3.7. Решите уравнение и неравенство: а) б)

Методические указания по выполнению работы:

Матрица называется квадратной, если число её строк совпадает с числом столбцов.

У квадратной матрицы выделяют:

Каждой квадратнойматрице можно поставить в соответствиенеко­торое число | A |, называемое её определителем, следующим образом:

1. Второго порядка: .

2. Третьего порядка:

3. Любого порядка. Определитель равен сумме произведенийэлемен­тов любой строки или столбца определителя на их алгебраические дополнения:

=

где А_ij - алгебраическое дополнение элемента а_ij: А_ij = (-1) ^{i+ j} ·М_ij;

М_ij – минор элемента а_ij - новый определитель порядка (п -1), полученный из вычеркиванием i -й строки и j -го столбца, на пересечении которых находится элемент а_ij.

Свойства определителей:

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот (свойство равноправности строк и столбцов).

2. При перестановке двух строк определитель меняет свой знак на противоположный.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя.

Следствие: Если элементы двух строк или столбцов определителя пропор­циональны, то определитель равен нулю.

Приведем примеры нахождения определителей второго, третьего и четвертого порядков:

Пример 1. Найдите определитель | A | =

Решение: .

Ответ: | A | = 14.

Пример 2. Найдите определитель:

Решение:

= 4 + 4 + 0 – 6 = 2. Ответ: 2.

Для нахождения определителя четвертого порядка необходимо уметь вычислять миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

Пример 3. Найдите миноры и алгебраические дополнения элементов третьего столбца определителя .

Решение:

1. Минор элемента а ₁₃ (М ₁₃ ) получаем вычеркиванием из определителя первой строки и третьего столбца:

2. Алгебраическое дополнение элемента а ₁₃ (А ₁₃ ) найдем по формуле: А ₁₃ = (- 1)¹⁺³ М ₁₃;

А ₁₃ =(- 1 ) ⁴ ∙ 24 = 24.

3. М ₂₃получаем вычеркиванием из определителя второй строки и третьего столбца:

М ₂₃ =

4. А ₂₃ найдем по формуле: А ₂₃=(-1)²⁺³ М ₂₃;

А ₂₃ = (-1)⁵∙(-11) = 11.

5. М ₃₃получаем вычеркиванием из определителя третьей строки и третьего столбца:

М ₃₃= = (-1)∙(-3) - 6∙4 = 3 - 24 = -21.

6. А ₃₃ найдем по формуле: А ₃₃=(-1)³⁺³ М ₃₃;

А ₃₃ = (-1)⁶∙(-21) = -21.

Ответ:М ₁₃ = 24, А ₁₃ = 24; М ₂₃= -11, А ₂₃ = 11; М ₃₃= -21, А ₃₃= -21.

Пример 4. Вычислите определитель четвертого порядка:

Решение:

1. Разложим определитель по элементам первой строки:

Так как а ₁₁ = 2, а ₁₂ = 0, а ₁₃= -1, а ₁₄ = 0, то

2. Вычислим алгебраическое дополнение А ₁₁:

А ₁₁=(-1)¹⁺¹ М _11, где М ₁₁= =(-2)∙1∙4+3∙0∙2+1∙0∙(-5) - (3∙1∙1+(-2)∙2∙(-5)+4∙0∙0 =

= -8+0+0-(3+20+0) = -8-23= -31.

Тогда А ₁₁=(-1)²∙(-31)= -31.

3. Вычислим алгебраическое дополнение А ₁₃:

А ₁₃=(-1)¹⁺³ М _13, где М ₁₃ = = 3∙0∙4+(-1)∙3∙1+0∙2∙(-2) - (1∙0∙0+4∙(-1)∙(-2)+3∙2∙3) =

=0-3+0-(0+8+18) = -3-26 = -29.

Тогда А ₁₃=(-1)⁴∙ (-29) = -29.

4. Поскольку , получим:

Ответ:

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 2, §2.2, стр. 17 – 33.

2. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 1, § 2, стр. 71 – 78.