Полуэмпирические теории турбулентности

Современная теория турбулентности не располагает возможностями теоретическим путем получить уравнения для определения напряжений Рейнольдса. Поэтому единственным способом, позволяющим замкнуть систему, является привлечение полуэмпирических соотношений, связывающих эти напряжения с осредненными по времени компонентами скорости , и .

Один из первых исследователей турбулентности, Ж.Бусси­неск, предложил выражать турбулентные напряжения аналогично закону трения Ньютона, т.е.

, (12.4)

где-турбулентная вязкость.

В отличие от физической, турбулентная вязкость характеризует не физические свойства жидкости, а статистические свойства пульсационного движения. Поэтому она не является постоянной величиной, а может изменяться как в пространстве, так и во времени. Важно также отметить, что даже на небольших удалениях от твердых границ турбулентная вязкость существенно превосходит физическую ().

В целом для турбулентного потока можно записать

(12.5)

Однако представление Буссинеска не приводит к решению задачи, т.к., к сожалению, отсутствуют прямые методы определения турбулентной вязкости.

Первого заметного успеха в этом направлении добился Л.Прандтль в 1925 году, предложив так называемую теорию пути перемешивания (смешения).

В основе ее лежит аналогия с кинетической теорией газов и предположение о том, что путь смешения зависит от условий течения. В соответствии с гипотезой Прандтля, каждый турбулентный моль (вихрь) жидкости переносит некоторое количество движения, которое сохраняется постоянным на пути перемешивания. Другими словами, длина пути перемешивания в известной мере аналогична длине свободного пробега молекул в кинетической теории газов, и определяет путь, который проходит моль жидкости, прежде чем он перемешается с другими жидкими образованиями и передаст свой импульс.

Допустив далее, что вертикальная и горизонтальная компоненты пульсационной скорости ( и ) являются величинами одного порядка, Прандтль получил формулу для определения турбулентного напряжения в виде

(12.6)

где - длина пути перемешивания.

Угловые скобки вокруг u, символизирующие операцию осреднения, для упрощения записи опущены.

Интересующиеся выводом формулы Прандтля, могут найти его в книгах: Аржаников Н.С., Мальцев В.Н. Аэродинамика. - М.: Изд-во оборонной промышл., 1956. - 483 с., либо Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 711 с.

На первый взгляд может показаться, что формула Прандтля не имеет каких-либо существенных преимуществ по сравнению с формулой Буссинеска, и единственным результатом является замена одной не поддающейся вычислению величины другой - . Однако это не так, поскольку величину оценить значительно проще, чем . В частности, не может быть больше размера канала и должна стремиться к нулю вблизи твердой стенки (поперечное дви­жение у стенки невозможно).