Основные теоретические сведения. 4.1.1 Преобразования Фурье.При воздействии на цепь сигналов произвольной формы широко используется спектральный (частотный) метод анализа электрических цепей

4.1.1 Преобразования Фурье.При воздействии на цепь сигналов произвольной формы широко используется спектральный (частотный) метод анализа электрических цепей. Спектральный метод позволяет определять спектр входного воздействия и вычислять спектральную плотность реакции цепи по спектру входного воздействия и соответствующей комплексной функции передачи цепи , а также находить реакцию цепи в переходном и установившемся режимах.

Математической основой спектрального метода анализа электрических цепей являются преобразования Фурье. Непериодическая функция, удовлетворяющая условию абсолютной интегрируемости в бесконечных пределах , может быть представлена интегралом Фурье:

(4.1)

Внутренний интеграл в выражении (4.1) является спектром или спектральной плотностью заданной функции и называется прямым преобразованием Фурье:

(4.2)

Заданную функцию можно определить по спектру с помощью обратного преобразования Фурье:

(4.3)

Одностороннее обратное преобразование Фурье (если при ):

(4.4)

Спектральная плотность является комплексной функцией частоты и может быть записана в показательной форме: , где − амплитудно-частотная характеристика АЧХ (чётная функция частоты),

− фазочастотная характеристика ФЧХ (нечётная функция частоты).

Обратное преобразование Фурье в тригонометрической форме:

(4.5)

Сравнивая прямое и обратное преобразование Лапласа с прямым (4.3) и обратным преобразованием Фурье (4.4), можно сделать вывод, что преобразования Фурье являются частным случаем преобразований Лапласа и получаются из него при .

4.1.2 Некоторые свойства преобразований.

Фурье теорема линейности: ;

спектры производной и интеграла: если , то и

;

теорема запаздывания: если , то .

4.1.3 Определение спектра непериодических функций.Спектры непериодических входных воздействий определяют по формуле прямого преобразования Фурье или используя таблицы операторных изображений по Лапласу, в которых заменяют на . Пример в задаче 4.1.

4.1.4 Определение спектральной плотности реакции цепи.Спектральную плотность реакции цепи вычисляют по спектральной плотности входного воздействия и соответствующей комплексной функции передачи цепи.

Расчет спектра тока в , закон Ома для частотных спектров при нулевых начальных значениях):

(4.6)

где - спектр непериодического входного воздействия;

- комплексное сопротивление , которое применялось ранее для расчёта установившихся гармонических процессов.

Расчет спектра тока двухполюсника:

(4.7)

где - комплексные входные сопротивление и проводимость.

В общем случае спектральную плотность реакции цепи (напряжение или ток произвольного элемента цепи) вычисляют по спектральной плотности входного воздействия по формулам (4.8):

(4.8)

где , - спектры непериодических входных воздействий (напряжения и тока);

- комплексные передаточные функции цепи.

Для расчёта комплексных передаточных функций цепи применяется комплексный метод, который применялся ранее для расчёта установившихся гармонических процессов Примеры в задачах 4.2; 4.

4.1.5 Определение реакции цепи в переходном и установившемся режимах. Спектральный метод может быть применён для расчета переходных процессов в линейных электрических цепях, так как преобразования Фурье являются частным случаем преобразований Лапласа и получаются из него при .

Порядок расчета переходных процессов спектральным методом:

а) определение спектра входного воздействия;

б) определение соответствующей передаточной функции цепи;

в) определение спектра реакции цепи;

г) определение реакции цепи по её спектру с помощью обратного преобразования Фурье, по таблице, по теореме разложения.

Примеры в задачах 4.2; 4.