Математическое описание принципов регулирования

Принцип Ползунова—Уатта. Уравнение такого регулятора в упрощенном представлении можно записать в виде:

δ_z η=φ; (3.4)

Координаты η и κ в данной системе являются внутренними и могут быть исключены. Это приводит к дифференциальному уравнению:

(3.5)

Общий интеграл этого уравнения при единичном ступенчатом возмущении (см. рис. 1.9,а), когда θ_∂ = 1,0 и α_∂ = -1,0 (при сбросе нагрузки), имеет вид:

(3.6)

Сопоставление полученного общего интеграла САР с общим интегралом (2.11) двигателя показывает, что

(1 + κ_дδ_z)/T_дδ_z > κ_д/Т_д. (3.7)

Следовательно, принцип Ползунова- Уатта обеспечивает повышение устойчивости и качества работы системы. При установке на двигателе автоматического регулятора, действующего на основе принципа Ползунова- Уатта, переходный процесс может быть сходящимся, т.е.:

при t → + ∞ величина φ → δ_z/(1 + κ_дδ_z) ], (3.8)

а система автоматического регулирования - устойчивой (даже при κ_д < 0), когда сам двигатель неустойчив, если при этом 1 + κ_дδ_z > 0.

Принцип братьев Сименс. Уравнения, характеризующие динамические свойства САР с регулятором братьев Сименс, имеют вид

δ_z η= - dφ/dt; . (3.9)

Путем совместного решения уравнений исключаются внутренние координаты η и κ, что дает

(3.10)

Общий интеграл этого уравнения при единичном ступенчатом возмущении, когда θ_∂ = 1,0 и α_∂ = -1,0 (при сбросе нагрузки), имеет вид:

(3.11)

регулятор, выполненный по принципу братьев Сименс, не способен повысить устойчивость системы регулирования. Она полностью определяется устойчивостью самого двигателя, т. е. алгебраическим знаком k_д. Если же k_д > 0, то регулятор системы братьев Сименс способен повысить быстродействие системы, т. е. качество процесса регулирования, при (Т_я - 1/δ_z) > 0.

Принцип Панселе. Уравнения, характеризующие динамические свойства САР с регулятором Панселе, имеют вид:

(3.12)

так как главная отрицательная обратная связь учтена в самом уравнении двигателя знаком «минус» перед . Совместное решение этих уравнений, когда θ_∂ = 1,0 и α_∂ = -1,0 имеет вид:

(3.13)

Следовательно, установка на двигатель регулятора системы Панселе, измеряющего нагрузку, не влияет на устойчивость работы системы, определяемую устойчивостью самого двигателя. Однако при k_д > 0 такой регулятор повышает качество работы системы, так как уменьшает изменение φ в переходном процессе при 1 -1/δ_z < 1.

Приведенный анализ свойств различных принципов регулирования свидетельствует о существенных преимуществах регуляторов, работающих по принципу Ползунова-Уатта, поэтому далее таким регуляторам уделяется основное внимание.