1. Сложение однонаправленных колебаний.
Сложим два колебания одинаковой частоты, но различных фаз и амплитуд [11].
,
. (2.17)
При наложении колебаний друг на друга:
. (2.18)
Введем новые параметры и согласно уравнениям:
,
. (2.19)
Система уравнений (2.19) легко решается:
, (2.20)
. (2.21)
Таким образом, для окончательно получаем уравнение:
. (2.22)
Итак, в результате сложения однонаправленных колебаний одинаковой частоты получаем гармоническое (синусоидальное) колебание, амплитуда и фаза которого определяется формулами (2.20) и (2.21).
Рассмотрим частные случаи, при которых соотношения между фазами двух складываемых колебаний различны:
а) пусть , тогда ;
б) пусть , тогда ;
в) пусть , тогда .
Сложим теперь однонаправленные колебания одинаковой амплитуды, одинаковых фаз, но разной частоты:
= . (2.23)
Рассмотрим случай, когда частоты близки друг к другу, т.е. . Тогда приближенно будем считать, что , а величина малая. Уравнение результирующего колебания будет иметь вид:
. (2.24)
Его график изображен на рис. 2.2. Такое колебание называется биением.
|
|
Рис. 2.2 – Биения
Оно осуществляется с частотой , но его амплитуда совершает колебание с большим периодом.
2. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний.
Допустим, что одно колебание осуществляется вдоль оси , другое – вдоль оси . Результирующее движение, очевидно, располагается в плоскости .
Допустим, что частоты колебаний и фазы одинаковы, а амплитуды различны.
,
. (2.25)
Чтобы найти траекторию результирующего движения, нужно из уравнений (2.25) исключить время. Для этого достаточно поделить почленно одно уравнение на другое, в результате получим:
. (2.26)
Уравнение (2.26) показывает, что в данном случае сложение колебаний приводит к колебанию по прямой линии, тангенс угла наклона которой определяется отношением амплитуд.
Пусть фазы складываемых колебаний отличаются друг от друга на 1/2 и уравнение имеют вид:
,
. (2.27)
Чтобы найти траекторию результирующего движения, исключив время, нужно уравнения (2.27) возвести в квадрат, предварительно поделив их на и соответственно, а затем сложить. Уравнение траектории примет вид:
. (2.28)
Это – уравнение эллипса. Можно доказать, что и при любых начальных фазах и любых амплитудах двух складываемых взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты результирующее колебание будет осуществляться по эллипсу. Его ориентация будет зависеть от фаз и амплитуд складываемых колебаний.
Если же складываемые колебания имеют различные частоты, то траектории результирующих движений получаются весьма разнообразными. Только в случае если частоты колебаний по и по кратны друг другу, получаются замкнутые траектории. Такие движения можно отнести к числу периодических. В этом случае траектории движений называются фигурами Лиссажу. Рассмотрим одну из фигур Лиссажу, которая получается при сложении колебаний с отношениями частот 1:2, с одинаковыми амплитудами и фазами в начале движения:
|
|
;
. (2.29)
Вдоль оси у колебания происходят в два раза чаще, чем вдоль оси . Сложение таких колебаний приведет к траектории движения в виде восьмерки (рис. 2.3).
Рис. 2.3 – Фигура Лиссажу