2015-04-08
1596
Наиболее известными и хорошо исследованными нелинейными уравнениями математической физики являются уравнения, описывающие распространение волн в нелинейных средах [14]. Решениями таких уравнений могут быть ударные волны или солитоны – уединенные волны, обладающие свойствами частиц.
Уравнение Буссинеска:
. (2.44)
Уравнение Кортевега-де Фриза:
. (2.45)
Уравнение синус – Гордона:
. (2.46)
Нелинейное уравнение Шредингера:
. (2.47)
В качестве первого шага при исследовании нелинейных волновых уравнений часто ищут решения в виде стационарных бегущих волн, то есть волн, форма которых не зависит от времени.
Рассмотрим уравнение Кортевега-де Фриса (2.45).
Будем искать решение уравнения (2.45) в виде:
, (2.48)
где 
, 
.
Преобразовав, имеем:
. (2.49)
Введем новую переменную:
. (2.50)
Тогда:
. (2.51)
Получили уравнение осциллятора с потенциальной энергией W. Тогда 
– седло, точка 
– центр (рис. 2.6).
Рис. 2.6 – Потенциальная энергия и фазовый портрет уравнения Кортевега-де Фриза в случае стационарных волн
|
|
|
Волны малой амплитуды будут иметь форму близкую к синусоидальной. Волны большой амплитуды сильно нелинейны, их называют кноидальными. Движению по сепаратрисе соответствует уединенная волна – солитон.
Преобразовав уравнение (2.51) получаем:
, (2.52)
где 
- неполный эллиптический интеграл первого рода.
. (2.53)
Рассмотрим случай малых колебаний вблизи дна потенциальной ямы. Тогда 
, 
, 
, 
, 
. Тогда:
. (2.54)
Получено уравнение гармонической волны (рис. 2.6).
Рассмотрим предельный случай 
. Тогда 
, 
.
. (2.55)
Получено решение в виде солитона – уединенной волны – с амплитудой 
и шириной 
(рис. 2.7).
Рис. 2.7 – Сверху вниз: слабо несинусоидальная волна, кноидальная волна, солитон
