Задача 8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом треуголь­нике АОВ, ограниченном осями координат и прямой x + y -4=0 (рис

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом треуголь­нике АОВ, ограниченном осями координат и прямой x + y -4=0 (рис. 12).

Решение. Чтобы найти наибольшее, и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области, необ­ходимо:

1) найти стационарные точки, лежащие внутри области, и вычислить значения функции в этих точках; исследовать на экстремум эти точки не следует;

2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области; если граница состоит из нескольких линий, то исследование проводится для каждого участка в отдель­ности;

3) сравнить полученные значения функции и уста­новить наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области.

Находим стационарные точки, ле­жащие внутри заданной области:

Приравняв нулю частные производные и решив полученную систему

находим стационарную точку Р₀(1; 2). Эта точка принад­лежит заданной области. Вычислим значение функции в этой точке:

Граница области состоит из отрезка ОА оси Ох, от­резка 0В оси Оу и отрезка АВ. Определим наибольшее и наименьшее значения функции z на каждом из этих трех участков. На отрезке ОА

у = 0, а 0 £ x £ 4. Если у=0, то z(x) = х² — 2x + 5. Находим наибольшее и наи­меньшее значения этой функции на отрезке [0, 4]:

Вычислим значения функции на концах отрезка ОА, т. е. в точках 0(0; 0) и A(4; 0):

z(0) = 5, z(4)= 13.

На отрезке OB х = 0 и 0 £ y £ 4. Если х = 0, то z(y) = 2у ² -8у + 5. Находим наибольшее и наименьшее зна­чения функции z от переменной у на отрезке [0; 4]:

В точке О (0; 0) значение функции уже было найдено. Вычислим значение функции в точке В:

z(В) = z (0; 4) = 5.

Теперь исследуем отрезок АВ. Уравнением прямой АВ будет у = 4 - х. Подставив это выражение- для у в за­данную функцию z, получим

Определим наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [0; 4]:

Рз — стационарная точка на отрезке АВ. Вычислим зна­чение функции в этой точке:

Значения функции на концах отрезка АВ найдены ранее.

Сравнивая полученные значения функции z в стацио­нарной точке Ро заданной области, в стационарных точ­ках на границах области P₁, Р₂, Рз и в точках О, А и В, заключаем, что наибольшее значение в заданной замкну­той области функция z имеет в точке А, наименьшее значение — в точке Р_о(1; 2). Итак,

Задача 9. Найти если , где x=acost, y=asint.

Решение:

Речь идёт о дифференцировании сложной функции.

Используя формулу получим