Поле Галуа

Введение

Вычисления над кольцами и в простых полях

Алгебраические системы - это системы, которые подчиняются определённым правилам или законам. В большей части это те же законы, которые приложимы к обычным числовым системам. Так группа - система в которой заданы одна основная операция и операция ей обратная, например сложение и вычитание или умножение и деление. В кольце определены две основные операции. Сложение и умножение и операция обратная первой (вычитание). В поле определены две основные операции и две обратные операции.

Алгебраическая группа

Группой называется совокупность объектов или элементов, для которых определена некоторая операция и выполняются аксиомы G1-G4. Операцию обычно называют сложением или умножением, даже если она не является арифметическим сложением или умножением

G1 (замкнутость) Операция может быть применена к любым двум элементам группы, в результате получается третий элемент группы.

G2 (ассоциативный закон) Для любых трёх элементов a, b, c группы (a+b)+c = a+(b+c) для сложения или (ab)c=a(bc) для умножения.

G3 Существует единичный элемент. Для сложения a+0=a или для умножения a´1=a

G4 Каждый элемент группы имеет обратный

Если кроме аксиом G1-G4 выполняются условие коммутативности или a+b=b+a то группу называют коммутативной или абелевой.

Алгебраическое кольцо

Кольцом R называется множество элементов над которым определены две операции. Одна называется сложением, а вторая умножением, даже если эти операции не являются обычным арифметическим сложением и умножением чисел. Для того чтобы множество R было кольцом должны выполняться следующие аксиомы:

R1 Множество R является абелевой группой относительно операции сложения

R2 (замкнутость) Для любых двух элементов a и b из множества R определено произведение ab, которое является элементом R

R3 (ассоциативный закон) Для любых трёх элементов a, b, с из множества R выполняется a(bc)=(ab)c

R4 (дистрибутивный закон) Для любых трёх элементов a, b, с из множества R выполняется a(b+c)=ab+ac и (b+c)a=ba+ca.

Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция умножения, т. е. если для любых двух элементов a и b из множества R ab=ba

Поле Галуа

Полем называется коммутативное кольцо с единичным элементом относительно умножения в котором каждый не нулевой элемент имеет обратный элемент по умножению.

Поля в которых определена операция сложения и умножения по модулю простого числа называются простыми полями. Для другого количества элементов поля существуют не всегда.