2015-05-05
500
Пусть ў – общее решение однородного уравнения(*), ỳ- некоторое решение неоднородного уравнения y(n) + a1(x) y(n-1) +…+an(x) y = b(x) (**). Тогда у= ў+ ỳ - общее решение неоднородного ур-я (**). Зная общее решение неоднородного ур-я, легко найти любое его частное решение.
Метод Лагранжа вариации постоянной.
Сначала решается однородное линейное дифференциальное уравнение (*), соответствующее неоднородному (**): находят общее решение (*). Затем постоянную величину С, входящую в полученное общее решение, полагают новой неизвестной функцией от х: С=С(х), т.е. варьируют произвольную постоянную. Найденную ф-ю подставляют в полученное на первом этапе общее решение однородного уравнения, получаем общее решение неоднородного уравнения.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
y” + py’ + qy = f(x)
Алгоритм решения
I) Необходимо найти общее решение однородного линейного уравнения
y” + py’ + qy = 0, соответствующего заданному неоднородному уравнению.
Для этого необходимо сначала решить характеристическое уравнение
l2 + pl + q = 0.
В зависимости от решения характеристического уравнения необходимо записать общее решение однородного линейного уравнения.
Возможны следующие случаи:
1) D = p2 – 4q > 0, l1,2 – два действительных различных корня характеристического уравнения, тогда общее решение имеет вид:
Y = C1el1x + C2el2x; C1, C2 = const.
2) D = p2 – 4q = 0, l =-p/2 – единственный корень характеристического уравнения, тогда общее решение имеет вид:
Y = C1elx + C2elx; C1, C2 = const.
3) D = p2 – 4q < 0, l1,2 = a + ib – два комплексно-сопряженных корня характеристического уравнения, тогда общее решение имеет вид:
Y = C1eax sinbx + C2eaxcosbx, C1, C2 = const.
II) Необходимо найти частное решение неоднородного линейного уравнения по следующей таблице.
Поиск частных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами y” + py’ + qy = f(x)
| F(x) | Дополнитель-ные условия | Частное решение φ(x) |
| pn(x)- многочлен n- ой степени | q ≠ 0 | φ(x) = Pn(x) |
| q = 0 | φ(x) = x Pn(x) | |
| p = q = 0 | φ(x) = x2 Pn(x) | |
| aebx; где a,b = const | b ≠ l1,2 | Φ(x) = Aebx, где A = const |
| b = l1 | Φ(x) = Axebx, где A = const | |
| b = -p/2 = l | φ(x) = Ax2 ebx, где A = const | |
| asin kx + + bcos kx | k ≠ 0, p ≠ 0 | φ(x) = Asin kx + Bcos kx |
| p = 0, q = k2 | φ(x) = x (Asin kx + Bcos kx) | |
| pn(x) + debx + asin kx+ bcos kx | Cумма частных решений для каждого слагаемого | |
| (pn(x) sin kx + qm(x) cos kx) ebx | φ(x) = (Pn(x) sin kx + Qm(x) cos kx) ebx |
III. Общее решение неоднородного линейного уравнения находится как сумма общего решения однородного линейного уравнения и частного решения неоднородного линейного уравнения y = φ(x) + Y
