Логический рост

Пусть р=р(у) – убывающая функция (dp/dy <0), т.е. с увеличением выпуска будет происходить насыщение рынка и цена будет падать. Проведя аналогичные рассуждения получим уравнение:

y¢=kp(y)y,(здесь k=la.) уравнение представляет собой автономное дифференциальное уравнение. Так как k>0, p>0, y>0, то у(t) – возрастающая функция (y¢>0). Исследуем у(t) на выпуклость. Дифференцируя уравнение по t, получим

y¢¢=ky¢(dp y +p) или y¢¢=ky¢p(dp _* y +1), т.е. y¢¢=ky¢p(1- 1),

dy dy p |e_y|

где e_y(p)= dy _* p - эластичность спроса.

dp y

Из этого вытекает, что если спрос эластичен, т.е. |e_y|>1, то y¢¢>0, т.е. функция спроса – выпуклая функция. Если спрос неэластичен, т.е. |e_y|<1, то y¢¢<0 и функция спроса – вогнутая функция.

Пусть, например, р(у)=b-ay (a, b>0), тогда уравнение принимает вид:

y¢=k(b-ay)y. Из чего легко получить, что y¢=0, если у=0 или у= b/a, а также, что у¢¢<0 при у= b/2a, и у¢¢>0 при у> b/2a. В данном случае легко получить и явное выражение для y(t). Разделяя переменные в уравнении, находим

dy = kdt, или dy (1 + a)= kdt.

y(b-ay) b у b-ay

Проинтегрировав это соотношение, имеем

Ln|y|-ln|b-ay|= kbt+lnC, т.е. y/(b-ay)=Ce^kbt. Отсюда получим y= Ce^kbt.

1+Cae^kbt

График этой функции называется логистической кривой. Она также описывает некоторые модели распространения информации, динамику эпидемий, процессы размножения бактерий в ограниченной среде обитания и т.п.

Из графика логистической кривой видно, что при малых t логистический рост схож с естественным ростом, однако при больших t характер роста меряется, темпы роста замедляются и кривая асимптоматически приближается к прямой у=b/a. Эта прямая является трационарным решением уравнения y¢=k(b-ay)y и соответственно случаю р(у)=0. Для этого уравнения также существуют решения при у> b/a, имеющие графики. Но так как в этом случае р(у)<0, то эти графики не имеют экономической интерпретации.

Более реалистичной является модель, в которой скорость роста зависит не от дохода, а от прибыли. Пусть С(у)= aу+b - издержки (b,a - константы) тогда

у¢=k(p(y)y-aу-b). Если p(y)=b-aу,то правая часть уравнения представляет собой квадратный многочлен относительно у с отрицательным коэффициентом перед у². В этом случае возможны три варианта.

1) D<0. Следовательно, у¢<0. Издержки настолько велики, что это приводит к постоянному падению производства и в конце концов к банкротству.

2) D=0.В этом случае у¢ < 0 и меется одна стационарная кривая у=у^* < b/a. При этом интегральные кривые, удовлетворяющие начальному условию у(t₀)=y₀>y^*, будут ассимптотически приближаться к у^* на +µ, а интегральные кривые, удовлетворяющие условию у(t₀)< у^* будут ассимптотически приближаться к у^* на -µ.

3) D>0. В этом случае существует два стационарных решения у=у₁, у=у₂. (0<y₁<y₂). При этом у¢>0 при y₁<у<y₂ и у¢<0 при у<y₁ или у>у₂.

3. Неоклассическая модель роста.

Пусть Y=F(K,L) – национальный доход, где К – обьём капиталовложений (фондов), L – величина затрат труда, F(K,L) – линейно-однородная производственная функция (F(tK,tL)=tF(K,L)). Пусть f(k) – производительность труда:

F(k)= F(K,L)/L=F(K/L,1)=F(k,1), где k=K/L – фондовооружённость. Как известно, f¢(k)>0, f¢¢(k)<0.

Предполагаем, что:

1. происходит естественный прирост трудовых ресурсов, т.е. L¢=aL(a=const);

2. Инвестиции направлены как на увеличение производственных фондов, так и на амортизацию, т.е. L¢=K¢+bK (b - норма амортизации).

Пусть l – норма инвестиций (т.е. I=lY), тогда lY=K¢+bK ÞK¢=lY-bK.

Из определения фондовооружённости вытекает ln k=lnK-lnL.

Дифференцируем эти соотношения по t, получим k¢/k=K¢/K-L¢L. Подставляя значения для L¢ и K¢, находим k¢ = lY-bK - a, т.е. k¢= lYk – (b+a)k = lYK -(b+a)k

k K K kL

Учитывая, что f=Y/L, получим K¢=lf(k)- (b+a)k. – уравнение неоклассического роста.