2015-05-05
344
Если в некоторой окрестности точки (х0,у0) функция f(х,у) определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f¢y, то существует такая окрестность точки (х0,у0), в которой задача Коши имеет решение, притом единственное. (приводится без доказательства)
Задача о нахождении решений дифференциального уравнения у¢=f(x,y), удовлетворяющих начальному условию у(х0)=у0, называется задачей Коши.
К системам дифференциальных уравнений первого порядка в известном смысле сводятся уравнения (и системы уравнений) любого порядка. Пример.
Пусть дано уравнение у¢¢¢=f(x,y,y¢,y¢¢). Если обозначить функцию y¢и y¢¢ соответственно через m и n, то уравнение можно заменить системой
ìy¢=m
ím¢=n
în¢=f(x,y, m,n)
состоящей из трёх уравнений первого порядка с тремя неизвестными функциями.
Векторная запись нормальной системы. (со слов Гончаренко)
Пусть дана нормальная система из n уравнений с n неизвестными.
ìx1=f(x1,x2,…,xn),
ïx2= f(x1,x2,…,xn),
í…..
îxn= f(x1,x2,…,xn)..
Представим набор решений как вектор х= (x1,x2,…,xn) в проистранстве Rn.
. ...
Функцию также можно записать в векторном виде f=(f(x),f(x),…,f(x)).
Векторная запись всей системы будет выглядеть следующия образом:
. ..
x = f (x).
Теория вероятностей.
