Статичтической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н0. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой. Правило, по которому принимают решение о том, принять или отклонить гипотезу Н0, называют критерием. Обычно критерием служит некая случайная величина, вычисляемая по выборке. (Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе не известного распределения.)
В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов: 1) ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза; 2) ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через a. Её называют уровнем значимости.
Статичтическим критерием называют величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.
|
|
Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Облать принятия гипотезы – совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.
облать значений К разбивается на две подоблати: подоблать принятия нулевой гипотезы (К кр.лев; К кр.прав); подобласть отклонения гипотезы Н0.
Из определения уровня значимости следует, что a=ò К кр.лев f(k)dk+ò+¥f(k)dk
-¥ К кр.прав.
Если плотность распределения К симметрична относительно оси ординат,то
ò+¥f(k)dk=a/2. Если f(k) и a известны, то можно найти К кр.прав.
К кр.прав.
Проверка гипотезы по равенству математических ожиданий нормально распределённых совокупностей при известных дисперсиях.
Пусть Х – нормально распределённая случайная величина с неизвестным М(х)=ах и известной D(x)=G2x; Y - нормально распределённая случайная величина с неизвестным М(х)=ау и известной D(x)=G2y
В результате проведённого эксперимента вычисляется хсредняя и усредняя.
Выдвигаем гипотезу Н0: ах=ау и конкурирующую гипотезу Н1: ах не равно ау.
Требуется оценить нулевую гипотезу с уровнем значимости a.
Решение.
Хcр. распределена по нормальному закону Þ М(х)=ах и D(x)=G2x/n. Уср. распределена по нормальному закону Þ М(у)=ау и D(у)=G2y/m
Хср.-Уср. распределена по нормальному закону Þ М(х-у)=0 и D(x-у)=G2x/n+G2y/m. Введём случайную величину К= Хср.- У ср.
|
|
Ö G2x/n+G2y/m ÞК имеет нормальное распределение с М(к)=0 и D(k)=1. Þ нормальное распределение симетрично Þò+¥f(k)dk=a/2=0,5-Ф(К кр.прав.)
К кр.прав.
Далее находим по таблицам фукнции Лапласса К кр.прав. Далее находим Кнабл. Затем: 1) Если Кнабл.Î[Ккр.лев; К кр.прав.], то гипотеза Н0 принимается. 2) если КнаблÎ{критическая область}, то гипотеза Н0 отвергается.
Проверка гипотезы о равенстве математическом ожидании нормально распределённой случайной величины при равных неизвестных диспрерсиях.
Пусть Х – нормально распределённая случайная величина с неизвестным М(х)=ах и D(x)=G2; Y - нормально распределённая случайная величина с неизвестным М(х)=ау и D(x)=G2
В результате проведённого эксперимента вычисляется хсредняя и усредняя.
Выдвигаем гипотезу Н0: ах=ау и конкурирующую гипотезу Н1: ах не равно ау.
Требуется оценить нулевую гипотезу с уровнем значимости a.
Решение.
Построим К.
n. n .
S2x=(å(xi-x)2)/(n-1), S2y=(å(yi-y)2)/(n-1).
i=1 i=1
Х – случайная величина, распределённая по нормальному закону с числовыми характеристиками (ах, G/Ön). Y – случайная величина, распределённая по нормальному закону с числовыми характеристиками (аy, G/Öm)
Оказывается случайная величина S2x и S2y имеют распределение c2(«хи-квадрат») со степенями свободы (n-1) и (m-1).
Введём случайную величину U=((n-1)S2x)/G2+((m-1)S2y)/G2 имеет распределение c2 с ч ис л о м степеней свободы n+m-2.
Случайная величина Х-У имеет нормальный закон распределения с характеристиками (ах-ау, ÖG2/n+G2/mØ)
Поэтому нормализированная случайная величина
U = (х-у)-(ах-ау)
ÖG2/n+G2/mØ
Имеет нормальное распределе н ие N (0,1), а отношение
V = (x- y) –(ax-ay).
ÖU/(m+n-2)Ø sÖ1/m+1/nØÖ[(m-1)S2x/s2+(n-1)S2y/s2]*1/(m+n-2)
имеет распределение Стьюдента с (m+n-2) степенями свободы. Таким образом можно найти Кнабл.
Кнабл. =(х-у)/Ö(1/m+1/n)*[(m-1)S2x+(n-1)S2y]/(m+n-2)Ø
Имеет распределение Стьдента с (m+n-2) степенями своды. Далеее вывод делается как в предыдудей задаче.
8. распределение l2
Распределение l2 – закон распределения непрерывной случайной величины, плотность которой определяется формулой.
f l2 (x)= ì 1* e-x/2x(k/2)-1, x>0
í2k/2Г(k/2)
î0, x£0 ¥
чило к=n-1 - число степеней свободы. Г(х) – гамма-функция Г(х)=ò tx-1e-tdt
0
C увеличением степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному. Причём для f l2 (x) М{ }=n, D{ }=n2