Ядро и образ линейного оператора

Пусть в линейном пространстве V задан линейный оператор А.

Множество M (A) º { y Î V ½ у = Ax, x Î V } называется образом линейного оператора А.

Множество N (A) º { x Î V ½ Ax = 0} называется ядром линейного оператора А.

Пример. Если в трехмерном геометрическом пространстве рассмотреть оператор A проектирования векторов на плоскость xOy, то сама плоскость xOy будет образом линейного оператора, а ось Oz будет ядром этого же оператора.

3°. Образ линейного оператора А есть подпространство.

◀1) Пусть Ax ₁ = y ₁, Ax ₂ = y ₂Þ A (a x ₁ + b x ₂) = a y ₁ + b y ₂, т.е. если y ₁, y ₂Î M (A)Þ a y ₁ + b y ₂Î V.

2) y = Ax = A (x + q _x) = Ax + A q _x = y + q _y Þ q _y = q т.е. нейтральный элемент переходит в нейтральный. ▶

4°. Ядро линейного оператора А есть подпространство. ◀ ▶

Если N (A) = {q} то оператор А называется невырожденным.

5°. dim M (A) = rang A = r; dim N (A) = n – r; dim V = dim M (A) + dim N (A).

Доказать самостоятельно

Величина (n – r)т.е. размерность ядра линейного оператора называется дефектом линейного оператора.