Квадратичные формы в унитарном пространстве

Def: Квадратичной формой называют В (х, х), соответствующую полуторалинейной форме В (х, у).

Тº. Пусть В (х, у) – эрмитова форма в n -мерном унитарном пространстве V. Тогда в V

существует ортонормированный базис { e_k } и существуют вещественные числа λ _k,

что для " х Î V в базисе { e_k }:

◀ В (х, у) – эрмитова Þ В (х, у) = (Aх, у), где А – эрмитов оператор. А – эрмитов Þ ${ e_k } – собственный ортонормированный базис и λ _k – собственные числа оператора А

; .

Тогда: ▶

И еще одна теорема: о приведении пары квадратичных форм к каноническому виду:

Тº. Пусть А (х, у) и В (х, у) – эрмитовы формы в линейном пространстве V и, кроме

того, " х Î V, х ¹ q, В (х, у) > 0. Тогда в V существует базис { e_k }, в котором:

.

◀ В (х, у) – эрмитова, В (х, у) > 0, " х Î V, х ¹ q. Из этих условий: В линейном пространстве V можно ввести скалярное произведение векторов х и у по правилу: (х, у) = В (х, у).

После введения скалярного произведения пространство V станет унитарным и в нем, согласно предыдущей теореме, существует ортонормированный базис { e_k } и числа λ _k, что в этом базисе .

С другой стороны, так как базис ортонормированный, то и

В (х, х) = (х, х), т.е. В (х, х) = ▶