Унитарные операторы

Def: Линейный оператор U Î L (V, V) называется унитарным, если

" х, y Î V (Ux, Uy) = = (x, y).

1° Из условия унитарности: || Ux || = || x ||, || U || = 1.

2° Если λ – собственное значение унитарного оператора, то | λ | =1.

◀ Пусть е – собственный вектор с собственными значениями λ и || x || = 1. Тогда

| λ | =| λ | || e || = ||l e || = || Ue || = || e || =1 ▶

Тº. Чтобы линейный оператор U Î L (V, V) был унитарным необходимо и достаточно,

чтобы U ^* = U ^–1.

◀ Необходимость: Пусть U – унитарный Þ (Ux, Uy) = (x, y) Þ (x, U ^* Uy) = (x, y) Þ

Þ (x, (U ^* U - Е) у) = 0 Þ U ^* Uy = Еу Þ U ^* U = Е Þ U ^* = U ^-1.

Достаточность: Пусть U ^* = U ^-1 Þ U ^* U = Е Þ (х, у) = (х, U ^* Uу) = (Ux, Uy), т.е. U – унитарный ▶

Примечание: U ^* = U ^-1 Û U ^* U = UU ^* = Е Û (Ux, Uy) = (x, y).

В примечании приведено две эквивалентные формы записи условия унитарности оператора.

Нетрудно убедиться в том, что произведение унитарных операторов – унитарный оператор.

Def: Оператор l называется унитарно подобным оператору L, если существует унитарный оператор U такой, что l = U ^* LU,

Напомним, что – называется коммутатором операторов А и В. При этом, если = 0, то А и В коммутирующие операторы.

Обозначим j = U ^*y.

Для унитарно подобных операторов выполняются следующие соотношения:

1) [ L, M ] = N Þ [ l, m ] = n; 2) L = L ^* Þ l = l ^*;

3) L y = ly Þ l j = lj; 4) (L y₁, y₂) Þ (l j₁, j₂).