Понятие тензора

Пусть V – вещественное (не обязательно евклидово) линейное пространство (dim V = n).

Def: Тензором типа (p, q), (p раз ковариантным, q раз контравариантным) называется геометрический объект, который:

1) в любом базисе { e_i } линейного пространства V_n определяется n^{p + q} координатами (индексы принимают значения 1, 2, …, n каждый);

2) обладает свойством, что его координаты в базисе { e_{i ¢}} связаны с координатами в базисе { e_i } соотношениями:

; (*)

и здесь элементы матрицы перехода от старого базиса к новому (e_i ® e_{i ¢}), а – элементы матрицы обратного перехода.

Число r = p + q называется рангом тензора.

Формула (*) называется формулой преобразования тензора при изменении базиса.

Замечание: Индексы i ₁ i ₂ … i_p называются ковариантными, а k ₁ k ₂ … k_q – контравариантными.

Отметим: Ковариантные и контравариантные координаты вектора преобразуется по формуле (*) (p = 1, q = 0 для ковариантных координат, p = 0, q = 1 для контравариантных координат).

Поэтому вектор представляет собой тензор первого ранга (1 раз ковариантный, либо 1 раз контравариантный – в зависимости от выбора типа координат этого вектора).

Отметим: Скаляр – тензор нулевого ранга – имеет одну координату, причем не имеющую индексов и не изменяющуюся при изменении системы координат.

Замечание: Нетрудно убедиться в том, что последовательный переход от { e_i } к { e_{i ¢}}, а затем от { e_{i ¢}} к { }, приводит к тем же результатам, что непосредственный переход от { e_i } к { }, т.е. определение тензора корректно.

Замечание: Любая система n^{p +q} чисел может в данном базисе рассматриваться как координаты некоторого тензора А типа (p, q).