1°. Нуль-тензор – это тензор все координаты которого, в некотором (а, следовательно, в
любом базисе) равны нулю.
2°. Символ Кронекера. Тензор А типа (1, 1) в базисе { ei } имеет координаты .
® = =
Т.е. действительно можно рассматривать как тензор типа (1, 1).
3°. Пусть А (x, y) – билинейная форма. Напомним, что в базисе { ei }: A (x, y) = A (xiei, yjej) =
= A (ei, ej) xiyj = aijxiyj. Здесь aij – элементы матрицы билинейной формы А в базисе { ei }.
Рассмотрим, как изменяется матрица билинейной формы при переходе к базису { ei ¢}.
aij = A (ei ¢, ej ¢) = = A (ei, ej) = aij.
Равенство aij = aij, показывает, что матрица билинейной формы представляет собой тензор А типа (2, 0) ранга 2.
Пусть А линейный оператор: y = Ax. В некотором базисе : = А ( )= А =
Т.е. = , – элементы матрицы линейного оператора в базисе { ei ¢}.
Рассмотрим базис { }.
= . Воспользуемся тем, что = ; = .
= | умножим обе части на и просуммируем по j.
= Þ =( ) Þ = .
Тогда =
Последнее равенство показывает, что матрица линейного оператора может рассматриваться как тензор А типа (1,1) ранга 2.
|
|