Эрмитовы формы

1. Полуторалинейные эрмитовы формы. Квадратичные формы в унитарном пространстве.

2. Приведение квадратичной формы и пары квадратичных форм к каноническому виду.

Унитарные и нормальные операторы.

1. Унитарные операторы. Необходимое и достаточное условие унитарности оператора.

2. Нормальные операторы. Диагонализуемость матрицы нормального и унитарного операторов.

Канонический вид линейного оператора.

1. Нормальная жорданова форма. Схема построения жорданова базиса и приведения матрицы линейного оператора к жордановой форме.

2. Примеры приведения матрицы к жордановому виду.

Линейные операторы в евклидовом пространстве.

1. Линейные операторы в евклидовых пространствах. Билинейные формы.

2. Самосопряженные операторы. Спектр самосопряженного оператора. Диагонализуемость матрицы самосопряженного оператора.

3. Ортогональные операторы. Ортогональные матрицы. Общий вид произвольного ортогонального оператора.

Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве.

1. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов.

2. Экстремальные свойства квадратичной формы.

Элементы теории тензоров.

1. Определитель Грамма. Линейная зависимость и независимость системы векторов.

2. Взаимные базисы. Ковариантные и контравариантные координаты векторов.

3. Преобразование координат векторов при изменении базиса. Ковариантные и контравариантные координаты. Формулы Гиббса..

4. Понятие тензора. Примеры тензоров.

5. Основные операции над тензорами.

6. Афинные ортогональные тензоры. Операции над афинными ортогональными тензорами.

7. Признак тензорности величины. О свойствах симметрии тензоров.

8. Псевдотензоры. Примеры псевдотензоров.

9. Алгебраический символ Леви-Чивита.

10. Связь тензоров 2^-го ранга с матрицей линейного оператора и с определителями.

11. Тензорные поля. Дифференцирование тензорного поля по координатам.

12. Дифференциальные операции 1^-го порядка. Градиент, дивергенция и ротор тензорного поля.

13. Дифференциальные операции 2^-го порядка для тензорных полей.

14. Интегральные формулы тензорного анализа. Формула Гаусса-Остроградского и формула Стокса для тензорных полей.