2015-05-06
240
В технических приложениях сигнал рассматривается как некоторая вещественная или комплексная функция времени x(t). Например, x(t)= 
- комплексная синусоида. В общем случае может изучаться множество сигналов 
. При этом решение многих прикладных задач требует сравнения различных сигналов множества M. Для этого нужно уметь оценивать величину сигнала. Тогда можно говорить, что один сигнал превышает другой. Кроме того, часто требуется объективно оценивать, насколько два неодинаковых сигнала “похожи” друг на друга.
Решить задачи сравнения сигналов позволяют геометрические методы в теории сигналов. В их основе лежит представление сигнала как вектора в
специально сконструированном бесконечномерном пространстве. Обычно берут линейное пространство. Для него справедлив принцип суперпозиции, т.е. принцип независимости действия. Условие линейности пространства:
если 
где 
- линейный оператор преобразования, то
,
где a и b - любые вещественные или комплексные константы.
Если выполняется условие линейности и математические модели сигналов xi(t) - вещественные функции, то множество сигналов M образует вещественное линейное пространство. В случае комплексных функций имеем комплексное линейное пространство. Функции xi(t) - элементы линейного пространства. Их часто называют векторами, так как свойства этих элементов подобны обычным трехмерным векторам.
|
|
|
В линейном пространстве сигналов можно задать специальное подмножество сигналов 
. Это подмножество играет роль координатных осей по аналогии с обычным трехмерным векторным пространством. Говорят, что совокупность векторов 
линейно независима, если равенство
возможно только в единственном случае, когда числовые коэффициенты bi одновременно обращаются в нуль. Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линейном пространстве. Любой сигнал x(t) из множества M можно разложить по координатному базису в виде
,
где числа {ai} - проекции сигнала (вектора) x(t) относительно выбранного базиса. Другими словами, числа {ai} - это координаты сигнала в линейном пространстве.
Линейные пространства могут быть разных видов. Тип пространства определяется принятой метрикой. Метрика - это, во-первых, способ определения длины (или нормы) функции, во-вторых, длины (или нормы) расстояния между двумя функциями. Распространены два типа пространства - евклидово R с равномерной метрикой и гильбертово L2 с квадратичной (степенной) метрикой. Для них метрика имеет вид:
1) нормы разности (или расстояния) вещественных функций x(t) и y(t)
2) нормы вещественной функции
Линейное пространство с метрикой является нормированным метрическим пространством. В теории сигналов широко применяется метрическое гильбертово пространство L2, т.е. пространство с интегрируемым квадратом. В нем норма комплексных функций определяется так:
|
|
|
,
где * - знак комплексно-сопряженной величины.
