Периодические сигналы

Условие периодичности имеет вид

x(t) = x(t+mT),

где T - период; m=1, 2,... - натуральное число.

Любой периодический сигнал, удовлетворяющий условиям Дирихле (функция ограничена, кусочно-непрерывная и имеет конечное число экстремумов), может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье

(2.4.1)

где - угловая частота 1-й или основной гармоники;

- коэффициенты разложения, вычисляемые по формулам:

; ; ;

; ;

- амплитуда k-й гармоники; - фаза k-й гармоники; - среднее значение сигнала (постоянная составляющая).

Ряд (2.4.1) представляет функцию как сумму гармонических составляющих. В некоторых случаях более удобна комплексная форма ряда Фурье. Ее можно получить на основании формулы Эйлера

при , введя обозначения

- комплексная амплитуда k-й гармоники (содержит информацию о фазе и амплитуде);

- комплексно-сопряженная амплитуда.

В комплексной форме ряд (2.4.1) будет иметь вид

. (2.4.2)

Коэффициенты ряда (2.4.2) вычисляются по формуле

. (2.4.3)

Формулы (2.4.2) и (2.4.3) - пара преобразований Фурье. Совокупность коэффициентов - комплексный спектр периодического сигнала x(t). Совокупность величин - спектр амплитуд. Совокупность величин - спектр фаз.

Спектры амплитуд и фаз можно представлять графически в виде спектрограмм. Например, согласно ряду (2.4.1), вид спектрограмм следующий (рис.2.5).

Рис.2.5

Очевидно, спектры периодических сигналов дискретны.

На практике часто достаточно знать лишь амплитудный спектр. Однако для перехода от спектрального представления к временному обязательно нужно знать спектр амплитуд и спектр фаз (рис.2.6).

Рис.2.6

Ряд (2.4.2) удобно представлять в форме

, где (2.4.4)

. (2.4.5)

Спектрограммы, полученные на основании рядов (2.4.1) и (2.4.3) или (2.4.4) отличаются. Различие следующее:

спектр (2.4.1) односторонний (k и kw₁ только положительные величины);

спектр (2.4.5) двусторонний (k и kw₁ имеют положительные и отрицательные значения) (рис.2.7).

Поэтому амплитуды спектра на основе ряда (2.4.1) в два раза больше амплитуд спектра (2.4.5) на основе ряда (2.4.4).

Рис.2.7

Физическое представление отрицательных частот - математическая абстракция. Область отрицательных частот нельзя отбрасывать. При различных преобразованиях спектра это приводит к ошибкам.